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数学论文二元函数极值的求解方法
(一)、二元函数极值定义 定义2设二元函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义,对该邻域内任一异于(x0,y0)的点(x,y), 成立不等式f(x,y)?f(x0,y0)或f(x,y)?f(x0,y0),则称f(x0,y0)是函数f(x,y)的极大值或极小值，点(x0,y0)为函数f(x)的极大值点或极小值点。极值为极大值和极小值的统称，极值点为极大值点和极小值点的统称。 注意：这里所讨论的极值点仅仅限于定义域的内点。 2222例设f(x,y)?2x?y,g(x,y)?1?x?y,h(x,y)?xy.由定义直接知道坐标原点（0,0）是函数f的极小值点，是g的极大值点，但不是h的极值点。这是22因为对任意点(x,y)，恒有f(x,y)?f(0,0)?0;对于任何(x,y)?(x,y)x?y?1,??恒有g(x,y)?g(0,0)?1；而对于函数h,在原点的任意小领域内，既含有使h(x,y)?0的一三象限中的点又含有使h(x,y)?0的二四象限中的点，所有函数h(0,0)?0既不是极大值，也不是极小值。 由定义可见，若f在点(x0,y0)取得极值，则当固定y?y0时，一元函数f(x,y0)必定在x?x0取得相同的极值，同理，一元函数f(x0,y)在y?y0也取得相同的极值。于是得到二元函数曲极值的必要条件如下： (二)、二元函数极值的充分必要条件 1、二元函数极值必要条件 定理1设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数, 且在点(x0,y0)处有极值, 那么它在该点的偏导数肯定为零，即 fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0. 证：不妨设z?f(x,y)在点(x0,y0)处有极大值，则对于(x0,y0)的某邻域内任何(x,y)?(x0,y0),都有f(x,y)?f(x0,y0)，故当y?y0,x?x0时，有
f(x,y0)?f(x0,y0),则一元函数f(x,y0)在x?x0处有极大值，必有fx(x0,y0)?0;类似地，可证fy(x0,y0)?0.
对于二元函数甚至多元函数与一元函数的情形类似，凡是能使一阶偏导数同时为零的点可以称为函数的驻点。
备注：具有偏导数的极值点必然是驻点，但驻点不一定是极值点。 2、二元函数极值充分条件
为了讨论二元函数f在点p0(x0,y0)取得极值的充分条件，我们假定f具有二阶连续偏导数，并记
?fxx(p0)Hf(p0)???fyx(p0)fxy(p0)??fxx??fyy(p0)???fxxfxx? fxx??p0他称为f在p0(x0,y0)的黑赛矩阵。
定理2.1（极值充分条件）设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有直到二阶的连续偏导数，又fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0.
令fxx(x0,y0)?A,fxy(x0,y0)?B,fyy(x0,y0)?C.
则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下:
(1)、当AC?B2?0时，函数f(x,y)在(x0,y0)处有极值，且当A?0时有极小值f(x0,y0)；A?0时有极大值f(x0,y0)；
(2)、当AC?B2?0时，函数f(x,y)在(x0,y0)处没有极值;
(3)、当AC?B2?0时，函数f(x,y)在(x0,y0)处可能有极值，也可能没有极值。
在此应注意的几个问题：
(1)、对于二元函数z?f(x,y),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用；
(2)、AC?B2?0时可能有极值?也可能没有极值，还需另作讨论； (3)、如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。
3、二元函数极值的求法
根据定理1与定理2，如果函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，则求z?f(x,y)的极值的一般步骤如下：
（1）、解方程组fx(x,y)?0,fy(x,y)?0,求出f(x,y)的所有驻点； （2）、求出函数f(x,y)每一个驻点的二阶偏导数，确定各驻点处A、B、C的值，并根据AC?B2的符号判定驻点是否为极值点。
（3）、最后求出函数f(x,y)在极值点处的极值。 例6求函数f(x,y)?4x2?3y2?16x?18y?9的极值 解：fx(x,y)?8x?16，fy(x,y)?6y?18
fxx(x,y)?8，fxy(x,y)?0，fyy(x,y)?6
?fx(x,y)?8x?16?0解方程组：?，得稳定点p（2，-3），
f(x,y)?6y?18?0?y令fxx(2,?3)?8,fxy(2,?3)?0,2fyy(2,?3)?6,(fxxfyy?fxy)(p)?48
因此f在点p取得极小值f(2,?3)??34，又因f处处存在偏导数，故(2,?3)为函数的唯一极值点。
322例７求二元函数f?x,y??x?4x?2xy?y?1的极值。
解：根据题意
2(1)、首先求出二元函数f?x,y?的偏导：fx'?x,y??3x?8x?2y，
fy'?x,y??2x?2y，fxx\?x,y??6x?8，fxy\?x,y??2，fyy\?x,y???2。