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数形结合思想在中学数学中的应用
作者：何伟宏
来源：《新课程·中旬》2015年第12期
摘 要：数形结合是一个极富数学特色的信息转换思想，根据数学问题的条件和结论内在联系，将问题的数量关系转化为图形的性质问题，或者将图形的性质问题转化为数量关系问题。通过数形结合，将抽象思维与形象思维有效结合起来，使问题化难为易，从而得以解决。这里主要从数形结合信息转换的方法及注意点，在集合、函数、解析几何等方面探究数形结合在中学数学中的应用。
关键词：数形结合；学习；应用
华罗庚先生指出：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事非。”所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义，又提示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐地结合起来。
纵观数学的发展史，数与形的结合不仅使几何问题获得了有力的代数工具，同时也使许多代数课题具有鲜明的直观性，从而开拓了新的研究方向。数形结合思想贯穿于全部数学之中，数轴、计算法证几何问题、三角法、复数法、向量法、解析法、图解法等都是这一思想的具体应用。
一、数形结合的三个途径和三个原则
进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：一是通过坐标系统的建立，引入参变量，化静为动，以动求解；二是转化；三是构造，即构造几何模型，构造函数或构造一个图形。 运用数形结合思想方法分析解决问题时，还要把握三个原则：一是等价原则，要注意图形不能精确刻画数量关系所带来的多面效应；二是双向性原则，即既要进行几何直观分析，又要进行相应代数抽象探索，仅对代数问题进行几何分析容易失真；三是简单原则，不要为了“数形结合”而数形结合，而应取决更有效、简便和更宜达到教学。 二、数形结合方法的一些应用
1.运用数形结合处理集合交、并、补的问题
运用数形结合的方法，解决有关集合的问题，是“形”之有效的。它使抽象的集合问题形象化、具体化，从而提高学生的解题能力。
例1.设集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N{（x，y）|x2-y=0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为（ ）
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A.1 B. 2 C. 3 D. 4
分析：本题的几何意义很明显，集合M为单位圆上的点，集合N为抛物线上的点（如图1），M∩N中元素只有两个，圆与抛物线的两个交点。 2.在二次函数方面的应用
一元二次方程、一元二次不等式、二次函数三者之间有着密切的联系。于是许多一元二次方程问题通过二次函数图象来解决。
例2.如果方程x2+2ax+a2-a+5=0的两个实根在方程x2+2ax+a2+a-7=0的两实根之间，试求a的取值范围。
分析：函数y1=x2+2ax+a2-a+5，y2=x2+2ax+a2+a-7的图象都是开口向上且形状相同又有公共对称轴的抛物线，把问题归结为两条抛物线顶点的纵坐标间关系问题，同时要考虑顶点与x轴的位置关系。满足题设条件是抛物线y1的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线y2的顶点纵坐标。（如图2） 即-a+5≤0-a+5>a-7 解得5≤a
3.求值问题中的数形结合
用数形结合的方法解题，能最直接提示问题的本质，直观地看到问题的结果，只需稍加计算推导，就能得到确切的答案。其中许多代数极值问题，就潜藏着图形背景，借助图形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法，画一个图形给问题的几何直观描述，从数形结合中找出问题的逻辑关系，启发思维，巧妙求解。
例3.如果实数x、y满足等式（x-2）2+y2=3，那么的最大值是_______。
分析：等式（x-2）2+y2=3，有明显的几何意义，它表示坐标平面上以（2，0）为圆心，r=为半径的圆（如图4）。而表示圆上的点（x，y）与坐标原点（0，0）的连线的斜率，如此一来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以（2，0）为圆心，以为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值，由图4可见，当点A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最大值为tan60°=。 4.构造图形，证明代数不等式
许多代数不等式，用中学代数知识去证明会有点力所不能及，若能借助几何图形，则问题迎刃而解。
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例4.设a，b，c为△ABC的三边的长，求证： 于是结论得证。
综上所述，运用数形结合方法，应根据不同问题的不同特点，或者把数量关系问题转化为图形性质问题来处理，或者把图形性质问题转化为数量关系问题来研究，从而把复杂问题简单化，抽象问题具体化，达到化难为易的目的。
在数学教学中，通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合起来，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还为学生初步形成辩证思维能力创造了条件。并且能够有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题，可以养成多向性思维的好习惯。激发学生的学习兴趣，逐渐渗透数形结合的思想方法，培养学生运用数形结合解决问题的意识。 参考文献：
[1]傅梦生.数形结合的应用策略研究[J].科技咨询导报，2007（11）：245. [2]黄珊.数形结合思想与解题教学研究[J].数学教学与研究，2009（23）：54-55. [3]袁桂珍.关于数形结合的若干基本观点[J].广西师范大学学报，1998，16（03）：29-35. 编辑 鲁翠红