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捷联式惯性导航积分算法设计

上篇：姿态算法

Paul G. Savage

Strapdown Associates, Inc., Maple Plain, Minnesota 55359

摘要：本论文分上下两篇，用于给现代捷联惯导系统的主要软件算法设计提供一个严密的

综合方法：将角速率积分成姿态角，将加速度变换或积分成速度以及将速度积分成位置。该算法是用两速修正法构成的，而两速修正法是具有一定创新程度的新颖算法，是为姿态修正而开发出来的，在姿态修正中，以中速运用精密解析方程去校正积分参数(姿态、速度或位置)，其输入是由在参数修正(姿态锥化修正、速度摇橹修正以及高分辨率位置螺旋修正)时间间隔内计算运动角速度和加速度的高速算法提供的。该设计方法考虑了通过捷联系统惯性传感器对角速度或比力加速度所进行的测量以及用于姿态基准和矢量速度积分的导航系旋转问题。本论文上篇定义了捷联惯导积分函数的总体设计要求，并开发出了用于姿态修正算法的方向余弦法和四元数法；下篇着重讨论速度和位置积分算法的设计。尽管上下两篇讨论中常常涉及到基本的惯性导航概念，然而，本论文是为那些已对基础惯导概念很熟悉的实际工作者而写的。

专门用语：

A,A1,A2,A3=任意坐标系

A1 =将矢量从A2坐标系投影到ACA1坐标系的方向余弦矩阵 2I =单位矩阵

A1 =从A2坐标系投影到AqA1坐标系的旋转矢量所构成的姿态变化四元数 2A1*A1A1 =的共轭四元数，它的第1项与qAqqA2A2的首项相同，余下的2~4项与 21 qA2的互为相反数

Aq1 =单位四元数，它的第1项为1，其余3项为0

V =无具体坐标系定义的矢量

VA =列向量，它的各项元素等于矢量V在坐标系A的各轴上的投影

A（VA?） =向量V的反对称（或交叉积）形式，代表如下矩阵：

?0? VZA????VYA?VZA0VXAVYA??VXA?? 0??AA（V?） 其中：VXA，VYA，VZA是V的分量，与A系矢量的矩阵乘积等于V与

A该矢量的叉积

?0?VqA =与VA等量的四元数矢量，?A?

?V???A =A2坐标系相对于A1坐标系的角速率，当A1为惯性系（I系）时，??A是由安装在

?2?2A2坐标系上的角速率传感器所测到的角速率

1.概论

惯性导航是通过对速度积分得到位置并对总加速度积分得到速度的过程。总加速度是指由重力加速

度和被施加的非重力产生的加速度（亦即比力加速度）之和。惯性导航系统( INS)包括：用于积分

的导航计算机；用于给积分运算定时的精密时钟，测量比力加速度用的加速度计组台；用于作为所算位置的一个函数而进行的重力加速度计算而留于导航计算机中的重力模型软件，以及为了定义作为速度计算一部分的加速度计三元组的角度方向所用的姿态基准。在现代INS中，姿态基准是由

驻留于INS计算机中的软件积分函数提供的，其输入来自一个有三轴的惯性角速度传感器。角速度传感器和加速度计三元组安装在一个公用的牢固构架上，该构架装在INS的底盘上，以保证每个惯性传感器之间的精确对准，这样的一种布置称之为捷联INS。因为惯性传感器牢固地固定在底盘内，所以也就牢固地固定于安装INS的飞行器上。

INS计算机中的基本函数有将角速率变换为姿态的积分函数(称之为姿态积分)．使用姿态数据将测得的加速度值转换到适当的导航坐标系中，再将它积分成矢量速度的函数(称之为矢量速度积分)，还有将导航系矢量速度积分成位置的函数(称之为位置积分)。这样就有了三个积分函数，姿态函数、

矢量速度函数及位置函数，每个函数的精度要求很高，以确保函数误差极小，符台惯性传感器精度的要求。

回眸历史，因为早在50年代，基础捷联惯导概念就开始形成，所以多年来捷联分析师将精力主要

集中于姿态积分函数算法的设计上。而种种算法的设计方法总是受到当时的飞行计算机技术的能力和局限性的影响。50年代后期和60年代，各种研究机构的捷联工作者们采取两种用于姿态积分函

数运算的方法，即用一阶数字算法进行高速姿态修正运算，如10～20kHz和用高阶算法进行的低速姿态修正运算，如50～100HZ。如果要精确考虑高频角速率分量时，就得考虑用高速算法，这样可以调整为系统的三维姿态变化。然而，那个时期的计算机工艺技术只能对姿态修正算法进行一些简化的一阶方程运算，精度有限。相反，高阶算法提倡者极力吹捧较一阶算法提高了解析精

度的高阶算法；但是，由于每个姿态修正循环可执行运算次数的连带增加导致必须使姿态修正

速率减缓以满足当时的计算机吞吐量的限制，从而使提高了的精度被降低。由于姿态四元数可以当作对所算姿态参数的解析形，这一优点使之成为一种更可取的算法(与传统方向余弦矩阵姿态表示法相比)所以它的出现使上述两种算法的优点黯然失色。就那一时期研究过的算法而言，四元数法在高频角速率环境下表现出的运算精度最优。

1966年，作者提出一个新的两速姿态积分函数运算方法，在该方法中，姿态修正运算被分成两部

分，即把简单高速一阶算法部分与更复杂的中速高阶算法部分结合起来使用，后一部分的输入由高速算法提供。简化了的高速部分用于考虑姿态修正循环内的高频角振荡，这能调整系统的姿态建立(传统上称之为锥化)。合在一起，两速方法的组合精度等于以高速速率进行的高阶运算(为了提高精度)；然而 由于高速算法简化之故，组合后对计算机的吞吐量的要求丝毫也不比原来的高速一阶姿态修正算法的吞吐量大。参考文献【6】采用的两速算法设计受到其基本解析公式的限制，该公式是一个皮卡德类型（Picard-type）的连续型的姿态速率微分方程的递归积分，在该方程中，同时产生中速和高速算法。解析递归积分设计过程的复杂性限制了高阶中速算法的扩展(在参考文献【6 】中仅

扩展到2阶，这在当时被认为是可以接受的)。

1969年，焦尔敦（Jordan）在一个不相关的设计活动中提出一个用于捷联姿态修正函数的两速法，在此方法中，解析公式的开头建立在两个单独定义的计算上：一个建立在输入姿态变化基础上的中速、经典封闭型、准确高阶姿态修正算法和一个测量中速算法姿态变化输入的简化高速二阶积分算法。1971年，鲍尔兹（Bortz）将焦尔敦的概念扩展到基于微分方程的高速计算，积分时将测量的准确姿态变化输入给准确的姿态修正算法。准确的中速姿态算法可以通过两个三角系数舍位构建成任何精度要求的特定阶次。实际上，鲍尔兹的姿态变化微分力程的简化型式现被用于高速函数计算。因此，参考文献【7】和【8】提供了一个更一般的两速姿态修正算法，在此算法中，中速高阶算法和高速简化算法可以独立地进行改编以满足特定的应用要求。（让人感兴趣的是，参考文献【8】提出了一个简化型高速算法的模拟执行程序。)参考文献【7】 和【8】提出的两速法(主张在准确中速姿态修正

运算中采用方向余弦法)的第二个好处是中速部分也可以用一个解析的精确的封闭形式的四元数修正算法来作为公式，该算法采用同用于方向余弦修正算法一样的高速输入。这样一来，新的两速法无论对于方向余弦法还是对四元数修正法都有同样的精度，而这两种方法都是由解析的精确封闭式方程推导出来的(这里假定对泰勒级数的三角系数的展开进行到比较准确的量级)。

大多数飞机使用的现代捷联INS采用以两速法为基础的姿态修正算法。中速算法部分的重复速率一般是基于最大角速率来设计（如50～200Hz),以尽量减少中、高速算法中幂级数舍位误差的影响。高速

）

算法的重复速率是在预计的捷联惯性传感器组合振动环境的基础上精确考虑了引起振荡的锥化效应而进行设计的。（如用于1n mile/h有50％的径向位置误差速率的飞机的INS的重复速率为1～4kHz。）连续进行的两速姿态算法的开发工作一直集中于高速积分函数的变化上。原来设想的简单一阶的种种现有高速姿态算法利用现代计算机日益增加的吞吐量，演变为各种高阶算法，而且经度得到提高，

(参见参考文献【9】～【11】和【12】的第7-1节)。对于姿态修正函数的演化，截止目前，有关用于加速度变换或矢量速度积分和位置积分的捷联INS姊妹算法的开发方面的其他并驾齐驱式著述很少见到发表。

本论文上篇定义了捷联惯导积分函数的总体设计要求并描述了开发基于两速法的姿态积分算法的综合设计过程。文章中所提供的材料是参考文献【12】第7-1节(它是参考文献【9】中材料的扩展)的浓缩型。这些材料着重于提供更严密的解析公式，同时，在可能的情况下，考虑到便于生成计算机软件的文件及有效性(这与现代飞行计算机技术也是一致的)，这些材料使用准确的封闭式方程。在姿态算法没计过程中包括了考虑到姿态修正时间周期内导航坐标系旋转的种种严密处理方法。 本论文的第二节提供了有关坐标系和所采用参数的背景材料。第三节以连续微分方程形式提供了一整套典型的捷联惯导姿态、矢量速度和位置方程，这构成了等量算法设计过程的框架。第四节探讨以高速部分的普通形式进行两速姿态积分运算的算法(适用于在导航系旋转影响下的方向余弦法和四元数法的公式)，并描述了一个特殊的形式，说明在古典高速二阶锥化计算算法中一种算法的设计，第五节给出有关姿态积分算法的表格参考数据，第六节就选择特殊应用算法和建立运算运行速率之后的过程进行了一般化讨论，第七节给出结论性评述。

最后，认识到下述观点很重要：尽管两速法的初衷是克服早期（l965～1975年)计算机技术的吞吐量的局限性，然而随着现代高速计算机的快速发展进步，这一局限性正在变得无足轻重。这就促使工程技术人员想回到一个更简单的单速算法结构上来，采用这种结构时，所有计算以一个重复速率进行，速率很高，足以准确地将多轴高频角速率和加速度调整影响考虑进去。本论文上，下两篇提供的两

速结构是和压缩成在对算法进行公式化的专门章节里解释的那种单速型是相兼容的。

2．坐标系和姿态方向的关系

本节定义了本篇论文中使用的坐标系，并一般性地说明方向余弦矩阵、姿态四元数和用于代表两坐标系之间的角度关系的旋转矢量姿态参数等等的性质。

2.1坐标系定义