内容发布更新时间 : 2024/5/18 13:42:31星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第4讲 二次函数与幂函数

一、知识梳理 1．幂函数

(1)定义：形如y＝x(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常1

－1

见的五类幂函数为y＝x，y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x.

2

3

α(2)五种幂函数的图象

(3)性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质

解析式 2

2

f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 值域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) ?4ac－b，＋∞? ?4a???在?－∞，－?上递减； 2a??在?－，＋∞?上递增 ?2a?2?－∞，4ac－b? ?4a???在?－∞，－?上递增； 2a??在?－，＋∞?上递减 ?2a?2?b??b?单调性 ?b??b?对称性 常用结论 1．幂函数的图象和性质

函数的图象关于x＝－对称 2ab(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．

(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α>0时，y＝x在[0，＋∞)上为增函数； 当α<0时，y＝x在(0，＋∞)上为减函数． 2．一元二次不等式恒成立的条件

??a>0，(1)ax＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是?2

?b－4ac<0.?

2

αα(2)ax＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是?二、教材衍化

2

?a<0，?

2

??b－4ac<0.

2??1α1．已知幂函数f(x)＝k·x的图象过点?，?，则k＋α＝________．

?22?

2??1α解析：因为函数f(x)＝k·x是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图象过点?，?，

?22?213?1?所以??＝，解得α＝，则k＋α＝. 222?2?

3

答案： 2

2.如图是①y＝x；②y＝x；③y＝x在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为________．

abcα

解析：根据幂函数的性质可知a<0，b>1，0

3．函数g(x)＝x－2x(x∈[0，3])的值域为________． 解析：由g(x)＝x－2x＝(x－1)－1，x∈[0，3]， 得g(x)在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数． 所以g(x)min＝g(1)＝－1，而g(0)＝0，g(3)＝3. 所以g(x)的值域为[－1，3]． 答案：[－1，3]

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 1

(1)函数y＝2x2是幂函数．( )

(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． ( ) (3)当n<0时，幂函数y＝x是定义域上的减函数．( )

4ac－b(4)二次函数y＝ax＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.( )

4a2

2

2

2

2

n(5)二次函数y＝ax＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( )

(6)在y＝ax＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )

答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏

常见误区|Ｋ(1)二次函数图象特征把握不准； (2)二次函数的单调性规律掌握不到位； (3)忽视幂函数的定义域； (4)幂函数的图象掌握不到位．

1．如图，若a<0，b>0，则函数y＝ax＋bx的大致图象是________(填序号)．

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