内容发布更新时间 : 2024/5/20 2:21:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
学 习 资 料 汇编
三 排序不等式
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．若A＝x1＋x2＋…＋xn，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1其中x1x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为( ) A．A>B C．A≥B
B．A
2
2
2
解析：依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0 2 2 x2n≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1. 答案：C 2．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件和2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则花钱最少和最多的值分别为( ) A．20,23 C．21,23 解析：最多为5×3＋4×2＋2×1＝25， 最少为5×1＋4×2＋2×3＝19，应选B. 答案：B 3．锐角三角形中，设P＝A．P≥Q C．P≤Q 解析：不妨设a≥b≥c，则A≥B≥C， ∴cos C≥cos B≥cos A， B．19,25 D．19,24 a＋b＋c2 ，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，则P、Q的关系为( ) B．P＝Q D．不能确定 acos C＋bcos B＋ccos A为顺序和， 由排序不等式定理，它不小于一切乱序和， 所以一定不小于P， ∴Q≥P. 答案：C 1??1??1??1＋4．(1＋1)?1＋?…?1＋…???的取值范围是( ) ?4??3n－2??61? 金戈出品 A．(21，＋∞) C．(4，＋∞) 1??1??解析：令A＝(1＋1)?1＋?…?1＋? ?4??3n－2?2583n－1＝×××…×， 1473n－2 B．(61，＋∞) D．(3n－2，＋∞) B＝×××…×4371069 3269583n， 3n－13n＋1 . 3nC＝×××…×23456789103n－13n3n＋1由于>>，>>，>>，…，>>>0， 1234567893n－23n－13n所以A>B>C>0.所以A>A·B·C. 由题意知3n－2＝61，所以n＝21. 又因为A·B·C＝3n＋1＝64.所以A>4. 答案：C 5．已知a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，将 3 bi(i＝1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值是( ) A．324 C．304 B．314 D．212 解析：两组数据的顺序和为a1b1＋a2b2＋…＋a5b5＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11＝304. 而a1c1＋a2c2＋…＋a5c5为这两组数的乱序和， ∴由排序不等式可知，a1c1＋a2c2＋…＋a5c5≤304， 当且仅当ci＝bi(i＝1,2,3,4,5)时，a1c1＋a2c2＋…＋a5c5有最大值，最大值为304. 答案：C 6．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________． 解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28. 答案：32 28 7．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花________钱． 解析：设a1＝1(件)，a2＝2(件)，a3＝3(件)，b1＝10(元)，b2＝13(元)，b3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a1b3＋a2b2＋a3b1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)． 金戈出品 答案：76元 8．在Rt△ABC中，∠C为直角，A，B所对的边分别为a，b， π 则aA＋bB与(a＋b)的大小关系为________． 4解析：不妨设a≥b>0， 则A≥B>0，由排序不等式 aA＋bB≥aB＋bA?? ??2(aA＋bB)≥a(A＋B)＋b(A＋B)＝(a＋b) 2?aA＋bB＝aA＋bB? π π ∴aA＋bB≥(a＋b)． 4π 答案：aA＋bB≥(a＋b) 4 111a＋b＋c9．设a，b，c都是正实数，求证：＋＋≤333. 8 8 8 abcabc证明：设a≥b≥c>0， 111111则≥≥，则33≥33≥33. cbabcca5 ab由不等式的性质，知a≥b≥c. 根据排序不等式，知 55 a5b5c5a5b5c5a2b2c2 ＋＋≥＋＋＝＋＋. b3c3c3a3a3b3c3a3a3b3b3c3c3a3b3 111222 又由不等式的性质，知a≥b≥c，3≥3≥3. cba由排序不等式，得 a2b2c2a2b2c2111＋＋≥＋＋＝＋＋. c3a3b3a3b3c3abc由不等式的传递性，知 111abca＋b＋c＋＋≤33＋33＋33＝333. 5 5 5 8 8 8 abcbccaababc∴原不等式成立． 10．设0 故由排序不等式可知b1ln a1＋b2ln a2＋…＋bnln an ≥c1ln a1＋c2ln a2＋…＋cnln an 金戈出品 bbbcccbb.