内容发布更新时间 : 2025/1/8 3:45:13星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

））））））））） 2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准

考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．若关于x的方程4x2?4mx?3m?1?0有两个相等的实数根，则m3?4m2?4m?2的值为（ ）

A．?3 B．?2 C．?1 D．1 【答案】 A

【解答】依题意，△?16m2?16(3m?1)?0。因此，m2?3m?1?0。 ∴ m2??3m?1，m2?3m??1。

∴ m3?4m2?4m?2?m(?3m?1)?4m2?4m?2?m2?3m?2??1?2??3。

2．如图，ABCD、DEFG都是正方形，边长分别为m、n（m?n）。坐标原点O为AD的中点，A、D、E在y轴上。若二次函数y?ax2的图像过C、F两点，则

A．3?1 B．2?1 C．23?1 D．22?1 【答案】 B

m【解答】依题意，点C坐标为(m，)，点F的坐标为

2(?n，n?m)。 2n?（ ） m由二次函数y?ax2的图像过C、F两点，得

（第2题图）

?m2?am??2，消去a，得n2?2mn?m2?0。 ??n?m?a(?n)2??2nnn∴ ()2?2??1?0，解得?2?1（舍负根）。

mmm∴

n?2?1。 m）））））））））） ））））））））） 3．如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上，且BD?1BC，过D、G的直线交AC于点E，则AEAC?（ ） A．25 B．35 C．37 D．47

【答案】 D

【解答】如图，连AG，并延长交BC于点F。 D∵ G为△ABC的重心，且BD?12BC， ∴ F为BC中点，且

AGGF?21，DB?BF?FC。 过点F作FM∥DE，交AC于点M。 则

CMCE?CFCD?13，AEAG2EM?GF?1。 设CM?k，则CE?3k，EM?2k，AE?4k。 ∴ AC?7k，

AEAC?4k7k?47。 另解：如图，连AG，并延长交BC于点F。 ∵ G为△ABC的重心，且BD?12BC， ∴ F为BC中点，且AGGF?21，DB?BF?FC。 ∴

FD2AGDC?3，GF?21。 在△AFC中，利用梅涅劳斯定理，得

FDDC?CEEA?AGGF?1。

∴ 2CE3?EA?21?1，CE3EA?4。 ∴ AEAC?47。

）））））））））） 2AGEBC（第3题图）

AGEMDBFC（第3题答题图）

AGEDBFC（第3题答题图）

））））））））） 4．如图，H、O分别为△ABC的垂心、外心，?BAC?45?，若△ABC外接圆的半径为

2，则AH?（ ）

A．23 B．22 C．4 D．3?1 【答案】 B

【解答】如图，连结BO并延长交⊙O于点D，连HC、CD、

AOHBCDA。

∵ O为△ABC的外心，

∴ BD为⊙O直径，DC?BC，DA?AB。 又H为△ABC的垂心， ∴ AH?BC，CH?AB。 ∴ AH∥DC，CH∥DA。

∴ 四边形AHCD为平行四边形，AH?DC。 ∵ ?BAC?45?，△ABC外接圆的半径为2， ∴ ?BDC??BAC?45?，BD?4。 ∴ AH?DC?22。

5．满足方程x2?4xy?19y2?151的整数对(x，y)有（ ） A．0对 B．2对 C．4对 D．6对 【答案】 C

【解答】方程x2?4xy?19y2?151化为(x?2y)2?151?15y2。 依题意，A?151?15y2为完全平方数。 由A?151?15y2?0，得y2?（第4题图）

ADOHBC（第4题答题图） 151。结合y为整数，得y2?10。故，y2?0，1，4，9。 15当y2?0时，A?151?15y2?151，不是完全平方数。 当y2?1时，A?151?15y2?136，不是完全平方数。 当y2?4时，A?151?15y2?91，不是完全平方数。 当y2?9时，A?151?15y2?16?42。

2??y?3?y??3?y?9∴ 方程化为?，即，或 ??222??(x?6)?16?(x?6)?16?(x?2y)?16?y?3?y?3?y??3?y??3∴ ?，或?，或?，或?。

?x?6?4?x?6??4?x?6?4?x?6??4?x?2?x??2?x?10?x??10∴ ?，或?，或?，或?。

y?3y??3y?3y??3????3)、(2，3)、(?2，?3)、(?10，?3)，共4对。 ∴ 满足方程的整数对有(10，））））））））））