内容发布更新时间 : 2024/12/24 0:44:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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2.2.1 综合法和分析法
学习目标：1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)2.会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．综合法
定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 2．分析法 定义 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法 思考1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ [提示]综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．
思考2: 综合法与分析法有什么区别？
[提示]综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)综合法是执果索因的逆推证法．( ) (2)分析法就是从结论推向已知．( ) (3)所有证明的题目均可使用分析法证明．( ) [答案] (1)× (2)× (3) ×
2．命题“对于任意角θ，cos θ－sin θ＝cos 2 θ”的证明：“cos θ－sin θ＝(cos θ－sin θ)(cos θ＋sin θ)＝cos θ－sin θ＝cos 2 θ”，其过程应用了
( )
A．分析法 精品K12教育教学资料
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推证过程 特点 P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3顺推证法→…→Qn?Q(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论) 或由因导果法 框图表示 特点 逆推证法或执 果索因法 精品K12教育教学资料
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用 D．间接证法
B [从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．] 3．要证明A＞B，若用作差比较法，只要证明________． [解析] 要证A＞B，只要证A－B＞0. [答案] A－B＞0 4．将下面用分析法证明
a2＋b2
2
≥ab的步骤补充完整：要证
a2＋b2
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≥ab，只需证a＋
2
b2≥2ab，也就是证________，
即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立.
【导学号：31062143】
[解析] 用分析法证明
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a2＋b2
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≥ab的步骤为：要证
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a2＋b2
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≥ab成立，只需证a＋b≥2ab，
22
也就是证a＋b－2ab≥0，即证(a－b)≥0.由于(a－b)≥0显然成立，所以原不等式成立．
[答案] a＋b－2ab≥0 (a－b)≥0 (a－b)≥0
[合 作 探 究·攻 重 难]
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综合法的应用 11 (1)已知a，b是正数，且a＋b＝1，证明：＋≥4.
ab(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B－(2c－b)sin C.
π①求证：A的大小为；
3
②若sin B＋sin C＝3，证明△ABC为等边三角形． [解] (1)法一：∵a，b是正数且a＋b＝1， 1
∴a＋b≥2ab，∴ab≤，
211a＋b1∴＋＝＝≥4.
ababab法二：∵a，b是正数，∴a＋b≥2ab>0， 1
ab1＋≥2
1
ab>0，
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?11?∴(a＋b)?＋?≥4.
?ab?
又a＋b＝1， 11
∴＋≥4.
ab11a＋ba＋bba法三：＋＝＋＝1＋＋＋1
ababab≥2＋2ba·＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号． ab(2)①由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C， 得2a＝(2b－c)b＋(2c－b)c， 即bc＝b＋c－a，
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2
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b2＋c2－a21
所以cos A＝＝，
2bc2
π
所以A＝.
3
②因为A＋B＋C＝180°， 所以B＋C＝180°－60°＝120°， 由sin B＋sin C＝3， 得sin B＋sin(120°－B)＝3，
sin B＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝3， 33
sin B＋cos B＝3， 22即sin(B＋30°)＝1.
因为0°＜B＜120°，所以30°＜B＋30°＜150°， 所以B＋30°＝90°，B＝60°， 所以A＝B＝C＝60°， 即△ABC为等边三角形． [规律方法] 综合法的解题步骤
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