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点、线、面位置关系

高考要求

内容 空间线、面的位置关系 公理1、公理2、公理3、公理空间中的线面关系 线、面平行或垂直的判定 C 4、定理* A 要求层次 B 重难点 1. 理解空间直线、平面位置关系的定义，及公理和定理． 2． 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定． 3． 能运用公理、定理和已获得的结论证明一线、面平行或垂直的性质 C 些空间位置关系的简单命题． 知识框架

平面的三个公里及推论直线与直线的位置关系空间中的线面关系直线与平面的位置关系平面与品面的位置关系

高中数学.02点、线、面位置关系（A级）.学生版Page 1 of 6

知识内容

一、 平面的三个公理及推论

1. 三个公理：

（1） 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 图形语言表述：如右图：

AαBl

符号语言表述：A?l,B?l,A??,B???l??

<知识储备> 作用：①作为判断和证明是否在平面内的依据；

②证明点在某平面内的依据； ③检验某面是否平面的依据．

（2） 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线

的三点确定一个平面．

图形语言表述：如右图，

A?CB

符号语言表述：A,B,C三点不共线?有且只有一个平面?，使A??,B??,C??．

<知识储备> 作用：①作为判断和证明两平面是否相交；

②证明点在某直线上； ③证明三点共线； ④证明三线共点．

（3）公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直

线．

图形语言表述：如右图：

符号语言表述：A??I???I??a,A?a．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相

交，这条公共直线叫做两个平面的交线．

<知识储备> 作用：公理3及其推论是空间里确定平面的依据，也是证明两个平面重合的依据，还为立体

几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体办法．

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?aA?2. 三个推论．

推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

3. 共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面． 4. 重要方法：

（1）证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线 （2）证明直线共面通常的方法：

①先由其中两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在此平面内（纳入法）； ②分别过某些点作多个平面，然后证明这些平面重合（重合法）； ③也可利用共面向量定理来证明．

（3）公理2是证明直线共点的依据，应该这样理解：

①如果A、B是交点，那么AB是交线；

②如果两个不同平面有三个或者更多的交点，那么它们共面； ③如果?I??l，点P是?、?的一个公共点，那么P?l．

二、 直线与直线位置关系

1. 直线与直线的位置关系：

（1）两直线共面：如果两条直线在同一平面内（即平行或相交），则两直线共面． （2）两直线异面：如果两直线不同在任何一个平面内，则两直线异面．

2. 求两条异面直线所成的角：首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90?；

若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”．注意，异面直线所成角的范?π?围是?0,?；求异面直线所成角的方法：

?2?①平移法：一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移． rrrra?b②向量法：设a、b分别为异面直线a、b的方向向量,则两异面直线所成的角??arccosrr；

ab③补体法

3. 两条异面直线的公垂线：

（1）定义：和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做异面直线的公垂线； （2）证明：异面直线公垂线的证明常转化为证明公垂线与两条异面直线分别垂直． 4. 两条异面直线的距离：

（1）定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度． （2）计算方法：

①公垂线法；

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