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International Mathematical Olympiad

第一届（1959年）

罗马尼亚 布拉索夫（Bra?ov，Romania）

21n?41. 求证14n?3 对每个自然数 n 都是最简分数。（波兰）

2. 设a)A?x?2x?1?x?2x?1?A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： 2；b)A=1；c)A=2。（罗马尼亚）

3. a、b、c 都是实数，已知关于 cos x 的二次方程

acos2x?bcosx?c?0

试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。（匈牙利）

4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。（匈牙利）

5. 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以 AM、MB 为底作正方形AMCD、 MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P、Q，设这两个外接圆又交于 M、N。 a) 求证：AF、BC 相交于N点；

b) 求证：不论点M如何选取，直线MN都通过定点S； c) 当M在A与B之间变动时，求线段PQ的中点的轨迹。（罗马尼亚）

6. 两个平面P、Q 的公共边为 p，A 为P上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D 分别落在平面P和Q上。（捷克斯洛伐克）

第二届（1960年）

罗马尼亚 锡纳亚（Sinaia，Romania）

1. 找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且商等于N的各位数字的平方和。（保加利亚） 2. 寻找使下式成立的实数x：（匈牙利）

?1?4x21?2x?2?2x?9

3. 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：（罗马尼亚）

1st

International Mathematical Olympiad

tan???4nh

n2?1a?4. 已知从A、B两点引出的高线长ha、hb以及从 A引出的中线长ma，求作三角形ABC。（匈牙利） 5. 正方体ABCD-A'B'C'D'（上底面 ABCD，下底面 A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。

a) 求XY中点的轨迹；

b) 求a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ 的点Z的轨迹。（捷克斯洛伐克）

6. 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。 令V1 为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。

a) 求证：V1不等于V2；

b) 设V1=kV2，求k的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角。（民主德国） 7. 一个等腰梯形的两底为a、c，高为h。

a) 在这个等腰梯形的对称轴上，找到所有的点P，使以P为顶点，且经过梯形腰的两个端点的角为直角； b) 计算P点到两底的距离；

c) 判断在什么情况下P点确实存在。讨论各种情况。（保加利亚）

第三届（1961年）

匈牙利 维斯普雷姆（Veszprém，Hungary）

1. 设a，b为常数，解方程组

?x?y?z?a?2222（匈牙利） ?x?y?z?b，并给出a和b满足什么条件时才能使x、y、z为互不相同的正数。

2?xy?z?2. 设a、b、c为三角形的三条边，其面积为S。证明a?b?c?43S并说明何时取等号。（波兰）

nn3. 解方程cosx?sinx?1，n是自然数。（保加利亚）

2224. 设P是三角形P1P2P3内一点。直线P1P，P2P，P3P分别与其对边相交于Q1，Q2，Q3。证明数字

PPPPP1P,2,3PQ1PQ2PQ3至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。（民主德国）

5. 作三角形ABC满足AC=b，AB=c，且∠AMB=ω，其中M是线段BC的中点且ω<90°。证明：当且仅当

btan?2（捷克斯洛伐克） ?c?b时可作出此三角形，并说明何时等号成立。

6. 三个不共线的点A、B、C在平面ε的同一侧；假设平面ABC不与平面ε平行。在平面ε上任取三个点A’、B’、

C’。设L、M、N分别为线段AA’，BB’，CC’的中点，G为三角形LMN的重心（不考虑使L、M、N不能构成三角形的情况）。问：当A’、B’、C’各自变化时，G的轨迹是什么？（罗马尼亚）

2nd

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第四届（1962年）

捷克斯洛伐克 捷克布杰约维采（?eské Budějovice，Czechoslovakia）

1. 找出具有下列各性质的最小正整数n： a) 它的最后一位数字是 6；

b) 如果把最后的6去掉并放在最前面，所得到的数是原来数的4倍。（波兰） 2. 试找出满足下列不等式的所有实数 x：

3?x?x?1?1（匈牙利） 23. 已知正方体ABCD-A'B'C'D'（ABCD、A'B'C'D'分别是上下底）。一点X沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向 B'C'CBB'运动。点X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。求线段XY的中点的轨迹。（捷克斯洛伐克） 4. 解方程 cos2x+cos22x+cos23x=1。（罗马尼亚）

5. 在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。（保加利亚）

6. 一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为r，求证这两个圆的圆心的距离是R(R?2r)。（民主德国）

7. 求证：正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。（苏联）

第五届（1963年）

波兰 弗罗茨瓦夫（Wroclaw，Poland）

1. 找出下列方程的所有实数根（其中p是实参数）：

x2?p?2x2?1?x（捷克斯洛伐克）

2. 给定一点A及线段BC，设空间中有一点使得以该点为顶点，一边通过A点，另一边与线段BC相交的角为直角，试求出所有满足条件的点的轨迹。（苏联）

3. 在一个n边形中，所有内角都相等，相连的边长度满足a1≥a2≥?≥an。 求证：所有边长都相等。（匈牙利）

?x5?x2?yx1?x?x?yx132??4. 设 y 是一个参数，试找出方程组?x2?x4?yx3的所有解x1，x2，x3，x4，x5。（苏联）

?x?x?yx4?35??x4?x1?yx55. 求证cos

?7?cos2?3?1?cos?。（民主德国） 7723rd

International Mathematical Olympiad

6. 五个同学A、B、C、D、E 参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE。但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如，C、D两位同学名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种）。还有一种猜测说结果会是DAECB的顺序。实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学（4个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连。试讨论最后的名次如何？（匈牙利）

第六届（1964年）

苏联 莫斯科（Moscow，Soviet Union）

1. a) 求所有正整数n使得2n—1能被7整除； b) 求证不存在正整数n使得2n+1能被7整除。（捷克斯洛伐克） 2. 假设a、b、c是三角形的三边长，求证：

a2(b?c?a)?b2(a?c?b)?c2(a?b?c)?3abc（匈牙利）

3. 三角形ABC的三边长分别为a、b、c。分别平行于三角形ABC的各边作三角形ABC内切圆 的切线，每条切线都在△ABC中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和（用a、b、c表示）。（南斯拉夫）

4. 十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。在他们的信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。（匈牙利）

5.平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目。（罗马尼亚）

6.四面体ABCD的中心是D0 ，分别过A、B、C作DD0的平行线，这些线分别交平面BCD、 CAD、ABD于点A1、B1、C1，求证：ABCD的体积是A1B1C1D0的三分之一；再问如果D0为三角形 ABC 内的任意一点，结果是否仍然成立？（波兰）

第七届（1965年）

民主德国 柏林（Berlin，German Democratic Republic）

1. 找出所有的x（0≤x≤2π）使其满足2cosx?1?sin2x?1?sin2x?2。（南斯拉夫） 2. 如下方程组

?a11x1?a12x2?a13x3?0??a21x1?a22x2?a23x3?0 ?ax?ax?ax?0?311322333其中x1、x2、x3未知。系数满足以下条件：

4th

International Mathematical Olympiad

a) a11、a22、a33为正数； b) 其余系数是负数；

c) 在每个方程中，系数的和是正数。 证明该方程组只有唯一解x1=x2=x3=0。（波兰）

3. 给出四面体ABCD，其中AB和CD长度分别为a和b。异面直线AB和CD的距离为d，夹角为ω。四面体ABCD被平面ε分为两部分，平面ε平行于AB和CD。AB和CD到平面ε的距离的比为k。计算出这两部分的体积之比。（捷克斯洛伐克）

4. 找出所有满足条件的四个实数x1、x2、x3、x4，它们中任何三个数的乘积加上第四个数的和都等于2。（苏联） 5. 给出三角形OAB，其中∠AOB是锐角。M是边AB上除O外的任意一点，从M点向OA和OB作垂线，垂足为P、Q。设三角形OPQ的垂心为H。当M在下列范围移动时，求H的轨迹。 a) 边AB；

b) 三角形OAB内部。（罗马尼亚） 6. 在平面上给出了n个点（n≥3）。每对点都有线段相连。令d为这些线段中最长的线段的长度。我们定义d就是这个点的集合的直径。证明在给出的点的集合中长度为d的线段至多有n条。（波兰）

第八届（1966年）

保加利亚 索菲亚（Sofia，Bulgaria）

1. 在一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题。在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A。请问有多少学生只答对B？（苏联） 2. 令a、b、c为三角形的三边，其对角分别为α、β、γ。证明如果a?b?tan?2(atan??btan?)，那么三角

形是等腰三角形。（匈牙利）

3. 求证：从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其它点到各顶点的距离之和。（保加利亚）

4. 求证：对于任一自然数n，以及任一实数x?k?（t=0,1，?，n；k为整数），都有 2t111n??...??cotx?cot2x（南斯拉夫） nsin2xsin4xsin2x5. 解方程组：

a1?a2x2?a1?a3x3?a1?a4x4?1a2?a1x1?a2?a3x3?a2?a4x4?1a3?a1x1?a3?a2x2?a3?a4x4?1a4?a1x1?a4?a2x2?a4?a3x3?1

其中a1、a2、a3、a4是四个不同的实数。（捷克斯洛伐克）

6. 已知三角形ABC，K、L、M分别是BC、CA、AB的内点。求证三角形AML、BKM、CLK之中至少有一个三角形的面积不大于三角形ABC的四分之一。（波兰）

5th