内容发布更新时间 : 2024/5/21 13:51:53星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

竞赛专题讲座04

－平面几何证明

[竞赛知识点拨]

1． 线段或角相等的证明 （1）利用全等△或相似多边形； （2）利用等腰△； （3）利用平行四边形； （4）利用等量代换；

（5）利用平行线的性质或利用比例关系 （6）利用圆中的等量关系等。 2． 线段或角的和差倍分的证明

（1）转化为相等问题。如要证明a=b±c，可以先作出线段p=b±c，再去证明a=p，即所谓“截长补短”，角的问题仿此进行。

（2）直接用已知的定理。例如：中位线定理，Rt△斜边上的中线等于斜边的一半；△的外角等于不相邻的内角之和；圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。 3． 两线平行与垂直的证明

（1）利用两线平行与垂直的判定定理。

（2）利用平行四边形的性质可证明平行；利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。

（3）利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。

【竞赛例题剖析】

【例1】从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。从A点作弦AE平行于CD，连结BE交CD于F。求证：BE平分CD。 【分析1】构造两个全等△。 连结ED、AC、AF。 CF=DF←△ACF≌△EDF←

←

←∠PAB=∠AEB=∠PFB

【分析2】利用圆中的等量关系。连结OF、OP、OB。

←∠PFB=∠POB←

←

注：连结OP、OA、OF，证明A、O、F、P四点共圆亦可。

【例2】△ABC内接于⊙O，P是弧 AB上的一点，过P作

OA、OB的垂线，与AC、BC分别交于S、T，AB交于M、N。求证：PM=MS充要条件是PN=NT。

【分析】只需证

（∠1=∠2，∠3=∠4）→△APM∽△PBN

， PM·PN=MS·NT。

→→PM·PN=AM·BN

（∠BNT=∠AMS，∠BTN=∠MAS）→△BNT∽△SMA

→→MS·NT=AM·BN

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