内容发布更新时间 : 2024/12/23 8:13:11星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
竞赛专题讲座04
-平面几何证明
[竞赛知识点拨]
1. 线段或角相等的证明 (1)利用全等△或相似多边形; (2)利用等腰△; (3)利用平行四边形; (4)利用等量代换;
(5)利用平行线的性质或利用比例关系 (6)利用圆中的等量关系等。 2. 线段或角的和差倍分的证明
(1)转化为相等问题。如要证明a=b±c,可以先作出线段p=b±c,再去证明a=p,即所谓“截长补短”,角的问题仿此进行。
(2)直接用已知的定理。例如:中位线定理,Rt△斜边上的中线等于斜边的一半;△的外角等于不相邻的内角之和;圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。 3. 两线平行与垂直的证明
(1)利用两线平行与垂直的判定定理。
(2)利用平行四边形的性质可证明平行;利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。
(3)利用比例关系可证明平行;利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。
【竞赛例题剖析】
【例1】从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。从A点作弦AE平行于CD,连结BE交CD于F。求证:BE平分CD。 【分析1】构造两个全等△。 连结ED、AC、AF。 CF=DF←△ACF≌△EDF←
←
←∠PAB=∠AEB=∠PFB
【分析2】利用圆中的等量关系。连结OF、OP、OB。
←∠PFB=∠POB←
←
注:连结OP、OA、OF,证明A、O、F、P四点共圆亦可。
【例2】△ABC内接于⊙O,P是弧 AB上的一点,过P作
OA、OB的垂线,与AC、BC分别交于S、T,AB交于M、N。求证:PM=MS充要条件是PN=NT。
【分析】只需证
(∠1=∠2,∠3=∠4)→△APM∽△PBN
, PM·PN=MS·NT。
→→PM·PN=AM·BN
(∠BNT=∠AMS,∠BTN=∠MAS)→△BNT∽△SMA
→→MS·NT=AM·BN
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