内容发布更新时间 : 2024/5/16 6:47:09星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第二节 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

突破点一 充分条件与必要条件

[基本知识]

1．充分条件与必要条件的概念

若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p?q且q p p是q的必要不充分条件 p q且q?p p是q的充要条件 p?q p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p 2.充分条件与必要条件和集合的关系 p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A?B p是q的必要条件 B?A p是q的充分不必要条件 AB p是q的必要不充分条件 BA p是q的充要条件 A＝B [基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )

(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( ) (3)“x＝1”是“x2

－3x＋2＝0”的必要不充分条件．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× 二、填空题

1．“x＝3”是“x2＝9”的________条件(填“充分不必要”或“必要不充分”)． 答案：充分不必要

2．“ab>0”是“a>0，b>0”的________条件． 答案：必要不充分

3．xy＝1是lg x＋lg y＝0的________条件． 解析：lg x＋lg y＝lg(xy)＝0， ∴xy＝1且x>0，y>0.

1

所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立， 反之无法得到x>0，y>0.

因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件． 答案：必要不充分

4．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空)．

解析：由题知p?q?s?t，又t?r，r?q，故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件．

答案：充分不必要 充要

[全析考法]

考法一 充分条件与必要条件的判断

[例1] (1)(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，

d成等比数列”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

?1?13

(2)(2018·天津高考)设x∈R，则“?x－?＜”是“x＜1”的( )

?2?2

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析] (1)a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，

d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则

由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．

?1?13

(2)由?x－?＜，得0＜x＜1，则0＜x＜1，

?2?2?1?13

即“?x－?＜”?“x＜1”；

?2?2

?1?13

由x＜1，得x＜1，当x≤0时，?x－?≥，

?2?2

2

即“x＜1”

3

?1?1

“?x－?＜”． ?2?2

?1?13

所以“?x－?＜”是“x＜1”的充分而不必要条件．

?2?2

[答案] (1)B (2)A

[方法技巧] 充分、必要条件的判断方法 利用定 义判断 从集合的直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么 利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，角度判断 即可解决充分必要性的问题 利用等价转化法 考法二 根据充分、必要条件求参数范围

条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假 [例2] (2019·大庆质检)已知p：x≤1＋m，q：|x－4|≤6.若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围是( )

A．(－∞，－1] C．[1,9]

B．(－∞，9] D．[9，＋∞)

[解析] 由|x－4|≤6，解得－2≤x≤10，因为p是q的必要不充分条件，所以m＋1≥10，解得m≥9.故选D.

[答案] D [方法技巧]

根据充分、必要条件求参数范围的思路方法

(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．

(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．

[集训冲关]

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