内容发布更新时间 : 2024/12/25 1:06:04星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

《大学物理简明教程》习题解答

习题一

1-1 ｜?r｜与?r有无不同?和有无不同? 同?其不同在哪里?试举例说明．

?r?r2?r1；

??drdtdrdtdvdt和

dvdt有无不

解：（1）?r是位移的模，?r是位矢的模的增量，即?r?r2?r1，

drdtdrdsdt?v?dt（2）

drdt是速度的模，即.

只是速度在径向上的分量.

?drdrdr??r?r?叫做单位矢）?（式中rdt ∵有r?rr，则dtdtdr式中dt就是速度径向上的分量，

∴

题1-1图

dvdtdrdr与dtdt不同如题

1-1图所示.

(3)表示加速度的模，即量.

??v?v?(?表轨道节线方向单位矢）∵有，所以

??dvdv?d????vdtdtdt

??dvdva?dt，dt是加速度a在切向上的分

dv式中dt就是加速度的切向分量.

???d??dr?与(dtdt的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)

1-2 设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度

和加速度时，有人先求出r＝

而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结

dr22x?y，然后根据v=dtd2r，及a＝dt2果，即

v=及a=

你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？

解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角

???r坐标系中，有?xi?yj，

??drdx?dy??v??i?jdtdtdt??d2rd2x?d2y?a?2?2i?2jdtdtdt

22?dx??dy???????dt??dt?22?d2x??d2y???dt2?????dt2??????22故它们的模即为

?dx??dy?v?v?v???????dt??dt?2x2y2

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

drv?dtdrd2r与2其二，可能是将dtdtdr说明dt?d2x??d2y?22a?ax?ay???dt2?????dt2??????2d2ra?2dt

误作速度与加速度的模。在1-1题中已

d2r不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，dt2也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分

2?d2r?d??????a径?2?r??dtdt??????。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r?在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速?v度的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。 1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为

1x=3t+5, y=2t2+3t-4.

式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点

的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．

?1??r?(3t?5)i?(t2?3t?4)j2m 解：（1）

(2)将t?1,t?2代入上式即有

???r1?8i?0.5j m

???r2?11j?4jm

??????r?r2?r1?3j?4.5jm

??????(3)∵ r0?5j?4j,r4?17i?16j

???????r?r?r12i?20j?v??40??3i?5jm?s?1?t4?04∴

????drv??3i?(t?3)jm?s?1(4) dt

???v?3i?7j m?s?1 则 4??????v?3i?3j,v?3i?7j 4(5)∵ 0??????vv4?v04a????1jm?s?2?t44 ?? ?dva??1jm?s?2dt(6)

这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。

1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以v0(m·s?1)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

图1-4

解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知

l2?h2?s2

将上式对时间t求导，得

2ldlds?2sdtdt

题1-4图

根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的， ∴ 即

v船??v船v绳??dlds?v0,v船??dtdt

vdsldll???v0?0dtsdtscos?lv0(h2?s2)1/2v0??ss

或

将v船再对t求导，即得船的加速度

s

dlds?ldv?v0s?lv船a?船?dt2dtv0?v02dtssl22(?s?)v02h2v0s??32ss

1-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a＝2+6x2，a的

单位为m?s?2，x的单位为 m. 质点在x＝0处，速度为10m?s?1,试求质点在任何坐标处的速度值． 解： ∵

2?d??adx?(2?6x)dx 分离变量：

12v?2x?2x3?c两边积分得 2

a?dvdvdxdv??vdtdxdtdx

由题知，x?0时，v0?10,∴c?50

3?1v?2x?x?25m?s∴

1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3tm?s?2，开始

运动时，x＝5 m，v=0，求该质点在t＝10s 时的速度和位置．

dv?4?3tdt 解：∵

分离变量，得 dv?(4?3t)dt

a?积分，得

由题知，t?0,v03v?4t?t2?c12 ?0,∴c1?0

3v?4t?t22 故

又因为

3dx?(4t?t2)dt2分离变量，

v?dx3?4t?t2dt2

1x?2t2?t3?c22积分得

由题知 t?0,x0?5,∴c2?5

1x?2t2?t3?52故

所以t?10s时

v10?4?10?3?102?190m?s?121x10?2?102??103?5?705m2

1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 ?=2+3t3，

?式中以弧度计，t以秒计，求：(1) t＝2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?

解：

??d?d??9t2,???18tdtdt

?2a?R??1?18?2?36m?st?2s? (1)时，

a??1an

an?R?2?1?(9?22)2?1296m?s?2

(2)当加速度方向与半径成45ο角时，有

222即 R??R? 亦即 (9t)?18t 则解得

t3?tan45??22??2?3t3?2?3??2.6799 于是角位移为

rad

1v0t?bt221-8 质点沿半径为R的圆周按s＝的规律运动，式中s为

质点离圆周上某点的弧长,v0，b都是常量，求：(1)t时刻质点的

加速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于b．