内容发布更新时间 : 2025/3/18 9:57:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．曲线的切线和曲线有且只有一个交点
B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线 D．若y＝f(x)在点(x0，f(x))处有切线，则f′(x0)不一定存在
解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A、B错误；
f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x))的切线的斜率不存在，但切线可能存在，此时
切线方程为x＝x0，故C错误D正确．
答案：D
2．设f(x)为可导函数，且满足上点(1，f(1))的切线斜率为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：令x→0，则2x→0，所以
f（1）－f（1－2x）
＝－1，则过曲线y＝f(x)
2xf（1）－f（1－2x）
＝
2x
率为－1.
f（1）－f（1－Δx）
＝f′(1)＝－1，故过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))的切线斜
Δx答案：B
3．若曲线f(x)＝ax在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( ) 11
A．1 B. C．－ D．－1
22解析：因为f′(1)＝
2
2
a（1＋Δx）2－a×12
＝
Δx (2a＋aΔx)＝2a，
2aΔx＋a（Δx） ＝Δx所以 2a＝2，所以 a＝1. 答案：A
1?1?4．y＝－在点?，－2?处的切线方程是( ) x?2?A．y＝x－2 C．y＝4x－4
1
解析：先求y＝－的导数：Δy＝－
1
B．y＝x－
2D．y＝4x－2
11ΔxΔy1
＋＝，＝，x＋Δxxx（x＋Δx）Δxx（x＋Δx）
xΔy＝Δx12
1111?1?＝2，即y′＝2，所以y＝－在点?，－2?处的切线斜率为k＝x（x＋Δx）xxx?2?
y′|x＝＝4.所以切线方程是y＋2＝4?x－?，
即y＝4x－4. 答案：C
5．曲线y＝f(x)＝x在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为( ) A．(－2，－8) C．(2，8)
解析：设点P的坐标为(x0，y0)， 则k＝f′(x0)＝
B．(－1，－1)或(1，1) 1??1
D.?－，－?
8??2
3
?
?
1?2?
f（x0＋Δx）－f（x0）＝＝Δx2
2
（x0＋Δx）－x0 ＝
Δx33
[(Δx)＋3x0＋3x0·Δx]＝3x0.
因为k＝3，所以 3x0＝3，所以 x0＝1或x0＝－1， 所以 y0＝1或y0＝－1.
所以 点P的坐标为(－1，－1)或(1，1)． 答案：B 二、填空题
6．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等于________．
解析：因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3. 答案：3
12
7．曲线f(x)＝x的平行于直线x－y＋1＝0的切线方程为________．
2
1122
（x＋Δx）－x22＝＝x.因为直线x－y＋1＝0的斜率为1，所以
Δx2
2
解析：f′(x)＝
x＝1，所以f(1)＝×1＝，切点为?1，?.故切线方程为y－＝1·(x－1)，即x－y－＝
0.
1
答案：x－y－＝0
2
1
8．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)
2＝________．
115
解析：由导数的几何意义，得f′(1)＝，又切点在切线上，故f(1)＝×1＋2＝，
222所以f(1)＋f′(1)＝3.
答案：3 三、解答题
9．在抛物线y＝x上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
解：y′＝
（x＋Δx）－x ＝
Δx2
2
2
1212
??
1?2?
1212
(2x＋Δx)＝2x.
设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0， 则
2
＝2x0＝4，解得x0＝2.
所以y0＝x0＝4，即P(2，4)．
设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0， 则
11
＝2x1＝－，解得x1＝－.
48
1?11?2
所以y1＝x1＝，即Q?－，?.
64?864?
?11?2
故抛物线y＝x在点(2，4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点?－，?处的切线
?864?
垂直于直线4x－y＋1＝0.
10．已知抛物线y＝ax＋bx＋c通过点P(1，1)，Q(2，－1)，且在点Q处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．
解：因为曲线y＝ax＋bx＋c过点P(1，1)， 所以 a＋b＋c＝1.①
因为y′＝2ax＋b，所以 y′|x＝2＝4a＋b，所以 4a＋b＝1② 又曲线过点Q(2，－1)，所以 4a＋2b＋c＝－1，③ 联立①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.
2
2