内容发布更新时间 : 2024/6/3 17:36:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

两个重要极限的证明

两个重要极限的证明

那么，数列 的极限存在，且 。 证明：因为 ，所以对 ，当 时，有 ，即

，对 ，当 时，有 ，即 ，又因为 ，所以当 时，有 ， 即有： ，即 ，所以 。

准则I′如果函数 满足下列条件： 当 时，有 。 当 时，有 。

那么当 时， 的极限存在，且等于 。 第一个重要极限：

作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限： 。 证明：作单位圆，如下图：

设 为圆心角 ，并设 见图不难发现： ，即： ，即 ， 当 改变符号时， 及1的值均不变，故对满足 的一切 ，有 。 又因为 ， 所以 而 ，证毕。 【例1】 。 【例2】 。 【例3】 。 【例4】 。

准则Ⅱ：单调有界数列必有极限

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如果数列 满足： ，就称之为单调增加数列;若满足： ，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。

如果 ，使得： ，就称数列 为有上界;若 ，使得： ，就称 有下界。

准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。 准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。

注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。

2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。

第二个重要极限：

作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明极限 是不存在的。 先考虑 取正整数时的情形： 对于 ，有不等式： ，即： ， 即： 现令 ，显然 ，因为 将其代入，所以 ，所以 为单调数列。

又令 ， 所以 ，

即对 ， 又对 所以{ }是有界的。

由准则Ⅱ或Ⅱ′知 存在，并使用 来表示，即

注 1：关于此极限存在性的证明，书上有不同的方法，希望同学自己看!

2：我们可证明： ，具体在此不证明了，书上也有，由证明过程知： 。

3：指数函数 及自然对数 中的底就是这个常数 。

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【例1】 【例2】 【例3】 【例4】 二、课堂练习： 三、布置作业：

附送：

两会“富民惠民安民”民生观心得体会

两会“富民惠民安民”民生观心得体会

总理报告凸显“富民惠民安民”民生观：

3月5日9时，十一届全国人大一次会议在人民大会堂开幕，国务院总理温家宝作政府工作报告。报告强调要更加注重社会建设，着力保障和改善民生，安排和部署了今年保障和改善民生的各项工作。报告虽然没有对保障和改善民生问题做更多的理论阐述，但审视改善民生的总体安排和具体政策措施，人们不难体会到报告凸显了“富民惠民安民”的民生观，深化了我们对民生问题的认识，是贯彻科学发展观、自觉走科学发展道路的生动体现。 富民实现全体人民的富裕幸福，是们建设社会主义的根本目的。富民是改善民生的首义，是社会主义的本质要求。报告提出要调整国民收入分配格局，深化收入分配制度改革，逐步提高居民收入在国民收入分配中的比重，提高劳动报酬在初次分配中的比重。 今年国家将进一步落实支农惠农政策，加强农业基础建设，促进农业发展和农民增收。必须清醒地看到，我国农业基础薄弱、农村发展滞后的局面尚未改变，农民持续增收的难度加大。富民的重点、难点在“富农”，没有广大农民的富裕就不会有全省乃至全国人民的富裕。因此，必须强化强农惠农政策，不断加大科

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