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难点四

解析几何中的范围、定值和探索性问题

(对应 生用书第68页)

解析几何中的范围、定值和探索性问题仍是高考考试的重点与难点，主要以解答题形式考查，一般以椭圆为背景，考查范围、定值和探索性问题，试题难度较大．复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用根与系数的关系进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值．下面对这些难点一一分析：

1．圆锥曲线中的定点、定值问题

该类问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明，难度较大．定点、定值问题是在变化中所表现出 的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．

x2y2

【例1】 (2017·江苏省南京市迎一模模拟)设椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心

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3

率e＝2，直线y＝x＋2与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切．

(1)求椭圆C的方程；

1

(2)设直线x＝2与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆D，若圆D与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABD的面积；

(3)如图1，A1，A2，B1，B2是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E，设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m－k为定值.

【导 号：56394098】

图1

[解] (1)∵直线y＝x＋2与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切，

|0－2|∴＝b，化为b＝1.

2

3c

∵离心率e＝2＝a，b2＝a2－c2＝1，联立解得a＝2，c＝3. x22

∴椭圆C的方程为4＋y＝1；

1115

(2)把x＝2代入椭圆方程可得：y2＝1－16，解得y＝±4. 15?1?

∴⊙D的方程为：?x－2?2＋y2＝16.

??

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11

令x＝0，解得y＝±4，

111111111

∴|AB|＝2，∴S△ABD＝2|AB|·|OD|＝2×2×2＝8. (3)证明：由(1)知：A1(－2,0)，A2(2,0)，B2(0,1)， 1

∴直线A1B2的方程为y＝2x＋1，

1

由题意，直线A2P的方程为y＝k(x－2)，k≠0，且k≠±2，

?y＝1

2x＋1，

由?

?y＝k?x－2?，

?4k＋24k???. ，解得E???2k－12k－1?

?y＝k?x－2?，

设P(x1，y1)，则由?x2

2＋y?4＝1，

∴2x1＝

16k2－44k2＋1

，∴x1＝

8k2－24k2＋1

得(4k2＋1)x2－16k2x＋16k2－4＝0.

，y1＝k(x1－2)＝

－4k4k2＋1

.

?8k2－2－4k??. ，∴P?22?4k＋14k＋1?

??

设F(x2,0)，则由P，B2，F三点共线得，kB2P＝kB2F. －4k即4k＋18k2－24k2＋1

2

－1

－0

?4k－2?

?. ，0＝，∴x2＝，∴F??2k＋1?x2－02k＋1??0－1

4k－2

4k

∴EF的斜率m＝

2k－14k＋2

－0

2k－1

－

2k＋1

＝4. 4k－22k＋1

2k＋11

∴2m－k＝2－k＝2为定值．

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