内容发布更新时间 : 2024/4/25 17:38:44星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

平面、直线与球面的位置关系

教学目标：1.体会平面几何与立体几何的异同，进一步了解欧式几何；

2.认识球与平面；球与直线的位置关系；

3.通过类比圆幂定理，理解球幂定理，并尝试证明；

4.让学生在回顾旧知的过程中学习新知识，并培养学生合作交流的意识.

教学重难点：1.直线、平面与球面的位置关系；

2.球幂定理.

教学过程：

（一）复习引入

1、平面中，直线与圆的位置关系、交点个数、圆心到直线的距离 2、平面几何中的切线长定理、切割线定理，相交弦定理 【说明：教师提问，学生回答，教师PPT图形展示】

（二）平面与球面的位置关系

【说明：类比平面中直线与圆的位置关系，教师提问，学生回答，教师PPT图形展示】 1、相交：平面与球面的交线是一个圆；其中，平面过球心时，所截的圆称为大圆，不过球

心时，所截的圆称为小圆，小圆半径小于大圆半径（如何证明？）；球心到平面的距离小于球的半径.（如何证明？）

2、相切：平面与球面有且仅有一个交点；球心到平面的距离等于球的半径.

3、相离：平面与球面无交点；球心到平面的距离大于球的半径.

4、应用：地球经度、维度的介绍

如图.当我们把地球看作一个球时,经线就是球面上从北极到南极的半个大圆,它以北极和南极为端点.国际上，以过格林尼治天文台的经线为0o经线，向东叫做东经，向西叫做西经.地球球面上一点的经线的经度是过该点的经线所在半平面与0°经线所在半平面所成的二面角的大小.例如，点A的经度就是二面角A-NS-B的大小,即∠BOC的大小.

赤道是一个大圆.与赤道所在平面平行的平面截地球表面所得的小圆叫做纬线.过地球球面上一点的纬线的纬度是该点与球心的连线与赤道平面所成的角的大小.赤道以北叫做北纬,赤道以南叫做南纬.赤道为0°纬线.除赤道以外的其他纬线都是小圆.如图的纬线

o

是北纬60.

很明显,地球表面上任意一点由经度和纬度唯一确定.如果没有特别说明,以后我们把地球看成球,把地球表面看成球球面. 【说明：请学生上台介绍，教师最后图片展示】

（三）直线与球面位置关系

【说明1：提示参考平面与球面学习，因为我们可以把平面看成是无数条直线组成】 【说明2：教师提问，学生回答，教师PPT图形展示】

1、直线与球面相交:直线与球面有两个交点,这条直线叫做球面的割线.此时球心到 直线的距离小于球的半径r.

2、直线与球面相离:直线与球面没有公共点.此时球心到直线的距离大于球的半径r. 3、直线与球相切:直线与球面有且只有一个公共点,这个公共点叫做切点,这条直线 叫做球面的切线,此时球心到直线的距离等于球的半径r.

【问题：过直线外一点可以作多少条球的切线？这些切线间有

什么关系？能组成什么样的图形？】

【说明：教师提问，学生回答，教师几何画板展示】 4、球幂定理

【说明：类比圆幂定理，教师提问，学生回答，教师PPT展示】

定理1：从球面外一点P向球面引割线,交球面于Q,R两点，再从点P引球面的任一切线,

切点为S,则PS2=PQ ·PR（怎么证明？）

证明：如图,连结SQ,SR.由于两条相交直线PS,RP

唯一确定一平面a,设平面a与球面的截面的圆 心为O.由圆幂定理可知PS2=PQ·PR

定理2：从球面外一点P向球面引两条割线,它们分

别与球面相交于Q,R,S,T四点(图1-8),则 PQ ·PR=PS ·PT

定理3：设P是球面内一点,过点P做两条直线,它们分别与球面交于Q,R,S,T四点,则

PO ·PR=PS ·PT.

【说明：请学生尝试证明，教师评价】

（四）课堂小结