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初等数论练习题答案

信阳职业技术学院

2010年12月

初等数论练习题一

一、填空题

1、d(2420)=12; ?(2420)=_880_ 2、设a,n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t，y=700+18t t?Z。. 6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_?(m)_。 7、18100被172除的余数是_256。 8、??65?? =-1。 ?103?

9、若p是素数，则同余方程x p ? 1 ?1(mod p)的解数为 p-1 。 二、计算题

1、解同余方程：3x2?11x?20 ? 0 (mod 105)。

解：因105 = 3?5?7，

同余方程3x?11x?20 ? 0 (mod 3)的解为x ? 1 (mod 3)， 同余方程3x2?11x?38 ? 0 (mod 5)的解为x ? 0，3 (mod 5)， 同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 7)的解为x ? 2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ? b1 (mod 3)，x ? b2 (mod 5)，x ? b3 (mod 7)，

其中b1 = 1，b2 = 0，3，b3 = 2，6，

由孙子定理得原同余方程的解为x ? 13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x2≡42(mod 107)是否有解？

237）（）（）1071071071071073?1107?17?1107?1 ??231072710722222?（）??1，（）?（?1）（）??（）?1，（）?（?1）（）??（）??1107107331077742?（）?11072?3?7解：(42)?（）?（2

故同余方程x2≡42(mod 107)有解。

3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。

解：易知1271≡50（mod 111）。

由502 ≡58（mod 111）, 503 ≡58×50≡14（mod 111），509≡143≡80（mod 111）知5028 ≡（509）3×50≡803×50≡803×50≡68×50≡70（mod 111） 从而5056 ≡16（mod 111）。

故（127156+34）28≡（16+34）28 ≡5028≡70（mod 111） 三、证明题

1、已知p是质数，（a,p）=1，证明：

（1）当a为奇数时，ap-1+(p-1)a≡0 (mod p)； （2）当a为偶数时，ap-1-(p-1)a≡0 (mod p)。

证明：由欧拉定理知ap-1≡1 (mod p)及(p-1)a≡-1 (mod p)立得（1）和（2）成立。 2、设a为正奇数，n为正整数，试证a2n≡1(mod 2n+2)。 …………… （1）

证明 设a = 2m ? 1，当n = 1时，有

a2 = (2m ? 1)2 = 4m(m ? 1) ? 1 ? 1 (mod 23)，即原式成立。 设原式对于n = k成立，则有 其中q?Z，所以 a2k?1a2k? 1 (mod 2k + 2) ?a2= 1 ? q2k + 2，

k= (1 ? q2k + 2)2 = 1 ? q ?2k + 3 ? 1 (mod 2k + 3)，

其中q ?是某个整数。这说明式(1)当n = k ? 1也成立。 由归纳法知原式对所有正整数n成立。

k3、设p是一个素数，且1≤k≤p-1。证明：Ckp?1 ? （-1 ）(mod p)。

（p?1）(p?2)?(p?k) 证明：设A=Ckp?1? 得：

k! k!·A =（p-1）(p-2)…（p-k）≡（-1）(-2)…（-k）(mod p)

k

又（k!，p）=1，故A = Ck ? （-1 ）(mod p) p?14、设p是不等于3和7的奇质数，证明：p6≡1(mod 84)。 说明：因为84=4×3×7，所以，只需证明：

p6≡1(mod 4) p6≡1(mod3) p6≡1(mod 7) 同时成立即可。 证明：因为84=4×3×7及p是不等于3和7的奇质数，所以