内容发布更新时间 : 2024/5/19 17:01:09星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

5．圆的方程

一、内容归纳 1. 知识精讲. ①圆的方程

(1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心。 (2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，其中圆心为(-

D1E，-)，半径为，222D2?E2?4F

(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个

端点。（用向量法证之） （4）半圆方程：y?r2??x?a??b,y??c?bx?x2?d等

2(5)圆系方程：

i)过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0

ii)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)该方程不包括圆C2；

（???1时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称轴方程）

(6) 圆的参数方程

圆心在(0,0),半径为r的圆的参数方程为??x?rcos? ?为参数

?y?rsin??x?a?rcos?圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程为? ?为参数

y?b?rsin??

②圆的一般方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系； 二元二次方程表示圆的充要条件A=C≠0，B=0 ，D2+E2-4AF>0。

二、问题讨论

例1、根据下列条件，求圆的方程。

(1)和圆x2+y2=4相外切于点P(-1，3)，且半径为4；

(2)经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；

(3)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程。

解：(1)设圆心Q的坐标为(a，b) ∵⊙O与⊙Q相外切于P

∴O、P、Q共线，且λ=

OQ63=-=- 由定比分点公式求得a=-3，b=33 QP42用心 爱心 专心 1

∴所求圆的方程为(x+3)2+(y-33)2=16

(2)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：

x2?y2=(x?1)2?(y?1)2 即x+y-1=0

解方程组 x+y-1=0

2x+3y+1=0 得圆心C的坐标为(4，-3)。又圆的半径r=|OC|=5 ∴所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25

(3)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 ① 将P、Q点的坐标分别代入①，得： 4D-2E+F=-20 ②

D-3E-F=10 ③ 令x=0，由①得y2+Ey+F=0 ④ 由已知|y1-y2|=43，其中y1、y2是方程④的两根。

∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48 ⑤ ②、③、⑤组成的方程组，得 D=-2 D= -10 E=0 或 E= -8 F= -12 F=4

故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0

[思维点拔]无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求。一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式。

例2、(优化设计P112例1)设A(?c,0),B(c,0)(c?0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a?0)，求P点的轨迹。

22(x?c)?y|PA|解：设动点P的坐标为（x，y）. 由?a(a?0)，得?a.

22|PB|(x?c)?y化简得(1?a2)x2?2c(1?a2)x?c2(1?a2)?(1?a2)y2?0.

2c(1?a2)1?a222ac2222当a?1时,得x?，整理得x?c?y?0(x?c)?y?(). 2221?aa?1a?1当a=1时，化简得x=0.

2a2?12acc,0)为圆心，|2所以当a?1时，P点的轨迹是以(2|为半径的圆； a?1a?1当a=1时，P点的轨迹为y轴。

【评述】上述解法是直接由题中条件，建立方程关系,，然后化简方程，这种求曲线方程的方法称为直接法。

例3、(优化设计P112例2)一圆与y轴相切，圆心在直线x?3y?0上，且直线y?x截圆所得的弦长为27，求此圆的方程。

解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x?3y?0上，故设圆方程为

用心 爱心 专心

2

(x?3b)2?(y?b)2?9b2，由于直线y?x截圆所得的弦长为27，则有

(3b?b2)2?(7)2?9b2解得b??1，故所求圆方程为

(x?3)2?(y?1)2?9或(x?3)2?(y?1)2?9

【评述】求圆的弦长方法

（1）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边 （2）代数法：用弦长公式(1?k2)[x1?x2)2?4x1x2]

例4、已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程。 y 解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于 l的直线为y轴，建立直角坐标系。 ⊙O与⊙M的公共弦为

AB，⊙M与l切于点C，则MA?MC ⊙O的直径，

?MO垂直

22222A M O B C x 平分AB于O。

由勾股定理得MA?MO?AO?x?y?9 ?x2?y2?9?y?3

2即：y?6x 这就是动圆圆心的轨迹方程

【点评】建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单、所求方程的形式较“整齐” 备用题：

例5、设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。

解：本题关键是找出动点P与定点M及已知动点N之间的联系，用平行四边形对角线互相平分这一定理即可。 设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为(段MN的中点坐标为(

2xy，)，线22y?4x0?3，0)。

22因为平行四边形对角线互相平分，故

xx0?3yy0?4=，=

2222从而 x0=x+3

y0=y-4

N(x+3，y-4)在圆上，故(x+3)2+(y-4)2=4

用心 爱心 专心

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