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小初高试卷教案类

专题四 平面向量

———————命题观察·高考定位———————

(对应学生用书第12页)

→→→

1．(2017·江苏高考)如图4－1，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1,1，2，→→→→→→→

OA与OC的夹角为α，且tan α＝7，OB与OC的夹角为45°.若OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则m＋n＝________.

图4－1

3 [法一 因为tan α＝7，所以cos α＝

272，sin α＝. 1010

→→→

过点C作CD∥OB交OA的延长线于点D，则OC＝OD＋DC，∠OCD＝45°. →→→又因为OC＝mOA＋nOB， →→→→所以OD＝mOA，DC＝nOB， →→

所以|OD|＝m，|DC|＝n.

→→→|DC||OD||OC|

在△COD中，由正弦定理得＝＝，

sin αsin∠OCDsin∠ODC因为sin ∠ODC＝sin (180°－α－∠OCD) 4

＝sin (α＋∠OCD)＝，

5

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即

n7210

＝m2＝， 24

52

75

所以n＝，m＝，所以m＋n＝3.

44

17

法二 由tan α＝7可得cos α＝，sin α＝，

5252→→→→

1OA·OCm＋nOA·OB则＝＝，

→→522|OA||OC|

→→→→

22OB·OCmOA·OB＋n由cos∠BOC＝可得＝＝，

22→→2

|OB||OC|

cos ∠AOB＝cos (α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45° ＝

152

×2723－×＝－， 25225

→→3313

则OA·OB＝－，则m－n＝，－m＋n＝1，

5555226

则m＋n＝，则m＋n＝3.] 555

2．(2016·江苏高考)如图4－2，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分→→→→→→

点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________．

图4－2

→→→→→→7

[由题意，得BF·CF＝(BD＋DF)·(CD＋DF) 8

→→→→→→

22

＝(BD＋DF)·(－BD＋DF)＝DF－BD →→

22

＝|DF|－|BD|＝－1，① →

→→→→→BA·CA＝(BD＋DA)·(CD＋DA) →→→→＝(BD＋3DF)·(－BD＋3DF) K12小学初中高中

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→→22

＝9DF－BD

→→

22

＝9|DF|－|BD|＝4.② →5→2132

由①②得|DF|＝，|BD|＝. 88→→→→→→

∴BE·CE＝(BD＋DE)·(CD＋DE) →→→→→→

22

＝(BD＋2DF)·(－BD＋2DF)＝4DF－BD →→513722

＝4|DF|－|BD|＝4×－＝.] 888

3．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为______．

－3 [∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，

??2m＋n＝9，∴?

?m－2n＝－8，?

??m＝2，

∴?

?n＝5，?

∴m－n＝2－5＝－3.]

→12

4．(2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝

23→

λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

→→→2→1→2→→1→11→2→1

[由题意DE＝BE－BD＝BC－BA＝(AC－AB)＋AB＝－AB＋AC，于是λ1＝－，2323263621λ2＝，故λ1＋λ2＝.] 32

→5．(2014·江苏高考) 如图4－3，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝→→→→→

3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________.

【导学号：56394021】

→

图4－3

→→→1→1→→→→→1→→→→→1→

22 [由CP＝3PD，得DP＝DC＝AB，AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝AP－AB＝AD＋AB－

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