内容发布更新时间 : 2024/12/26 3:29:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第八章边界层理论基础
一、主要内容
（一）边界层的基本概念与特征
1、基本概念：绕物体流动时物体壁面附近存在一个薄层，其内部存在着很大的速度梯度和漩涡，粘性影响不能忽略，我们把这一薄层称为边界层。
2、基本特征：
（1）与物体的长度相比，边界层的厚度很小；
（2）边界层内沿边界层厚度方向的速度变化非常急剧，即速度梯度很大； （3）边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；
（4）由于边界层很薄，因而可以近似地认为边界层中各截面上压强等于同一截面上边界层外边界上的压强；
（5）在边界层内粘性力和惯性力是同一数量级；
（6）边界层内流体的流动与管内流动一样，也可以有层流和紊流2种状态。 （二）层流边界层的微分方程（普朗特边界层方程）
??vx?vy?2vx1?p?vy?????vx?x?y??x?y2????p ??0?y???v?vy?x??0?x?y??其边界条件为：在y?0处，vx?vy?0 在y??处，vx?v(x)
（三）边界层的厚度
从平板表面沿外法线到流速为主流99%的距离，称为边界层的厚度，以?表示。边界层的厚度?顺流逐渐加厚，因为边界的影响是随着边界的长度逐渐向流区内延伸的。
图8-1 平板边界层的厚度
1、位移厚度或排挤厚度?1
?1?2、动量损失厚度?2
?vx1?(v?v)dy?(1?)dy x??00vv?2?1?v2??0?vx(v?vx)dy???0vxv(1?x)dy vv（四）边界层的动量积分关系式
??2???P?vdy?v?vdy?????wdx xx??00?x?x?x对于平板上的层流边界层，在整个边界层内每一点的压强都是相同的，即P?常数。这
样，边界层的动量积分关系式变为
?wd?2d?vdy?vvdy?? x?x??00dxdx?二、本章难点
（一）平板层流边界层的近似计算 根据三个关系式：（1）平板层流边界层的动量积分关系式；（2）层流边界层内的速度分布关系式；（3）切向应力关系式。可计算得到在平板一个壁面上由粘性力引起的总摩擦力及摩擦阻力系数。 三、习题与解答
8-1一平板顺流放置于均匀流中。如果将平板的长度增加1倍，试问：平板所受的摩擦阻力将增加几倍？(设平板边界层内的流动为层流)
解：当平板边界层为层流边界层时，摩擦阻力系数Cf?Rel平板所受摩擦力可表示为FD?Cf??1/2，即Cf?1 l12bl?v?，所以，FD?l 2可得：如果将平板的长度增加1倍，平板所受的摩擦阻力将增加2倍。 8-2设顺流长平板上的层流边界层中，板面上的速度梯度为k?近的速度分布可用下式表示
?u?yy?0。试证明板面附
u?式中，
1?p2y?ky
2??x?p为板长方向的压强梯度，y为至板面的距离。（设流动为定常流） ?x证明：对于恒定二维平板边界层，普朗特边界层方程为：
?u?u1?p?2uu?v????2（1） ?x?y??x?y由于平板很长，可以认为
?u?u?v?0，由连续性方程??0可得： ?x?x?y?v?0（2） ?y在平板壁上v?0，因此在边界层内v?0，式（1）可简化为：
?2u1?p1?p（3） ???y2???x??x上式中右端是x的函数，左端是y的函数，要使左右两端相等，必须使得对式（3）积分一次得：
?p?常数，?x?u1?p?y?C（4） ?y??x再积分得到：
u??u?y1?p2y?Cy?D（5）
2??x由题意k?y?0，代入式（4）中，故C?k
当y?0时，由无滑移条件u?0，得D?0 证得u?1?p2y?ky
2??x8-3温度为25℃的空气，以30m/s的速度纵向绕流一块极薄的平板，压强为大气压强，计算离平板前缘200mm处边界层的厚度为多少？
解：查表得温度为25℃的空气，其运动粘度为??15.475?10?6m2/s 对应的雷诺数为Re?v?x??387722＞＞5?105，按紊流边界层计算
边界层厚度为??0.377lRel?1/5?5.75mm
8-4温度为20℃、密度??925kg/m3的油流，以60cm/s的速度纵向绕流一宽15cm、长50cm的薄平板流动。试求总摩擦阻力和边界层厚度。在20℃时油的??7.9?10?5m2/s。
解：对应的雷诺数为Re?边界层厚度为??5.84v?l??3797，按层流边界层计算
?lv??47.4mm
2总摩擦阻力为FD?0.686bl?v?Rel?1/2?0.28N
8-5平板层流边界层内速度分布规律为系数与雷诺数Re的关系式。
解：边界层的动量积分关系式为
yyvx?2?()2，试求边界层厚度和摩擦阻力v????wd?2d?vdy?vvdy??（1） x?xdx?0dx?0?由题可得
vx?v?[2利用牛顿内摩擦定律和式（2）得出：
y?y?()2]（2）
??w??(ydvx2?v?2?v?)y?0?(1?)y?0?（3） dy???为便于计算边界层厚度，先求下列2个积分式
??0yy2vxdy??v?[2()?()2]dy?v??（4）
0??3???0yy822vdy??v?[2()?()2]2dy?v??（5）
0??152x?将式（3）、（4）、（5）代入式（1）中得：
1v??d???dx 15积分后得
1v??2??x?C 30因为在平板壁面前缘点处边界层厚度为0，即x?0，??0，所以积分常数C?0。于
是得边界层厚度为
??5.48位移厚度?1??xv?1/2（6） ?5.48xRe?x??0(1??vx11/2 )dy???1.83xRe?xv?3vxv21/2 (1?x)dy???0.73xRe?xv?v?15动量损失厚度?2??0将式（6）代入式（3）中，得切向应力为
?w?2?v???0.363??v?x2?0.36?v??v?x21/2?0.36?v?Re?（7） x在平板一个壁面上由粘性力引起的总摩擦阻力为
3FD?b??wdx?0.36b??v??0ll0dx32?0.72b??lv??0.72bl?v?Rel?1/2（8） x摩擦阻力系数为
Cf?12bl?v?2FD?1.44Rel?1/2
8-6若平板层流边界层内的速度分布为正弦曲线vx?v?sin(之间的关系式。
解：边界层的动量积分关系式为
?y)，试求?和Cf与Re2??wd?2d?vdy?vvdy??（1） x?xdx?0dx?0?由题可得
vx?v?sin(?y)（2） 2?