内容发布更新时间 : 2024/11/16 14:42:32星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

??f(t,z)?h(t,z)?

4.14 证明一维连续和离散傅里叶变换都是线性操作 解：

若连续傅里叶变换

??????f(?,?)h(t??,z??)d?d?

是线性的，只需证明：

代入傅立叶变换定义

其中第二步由于积分的分配率。 同样的，离散傅里叶变换：

4.16 证明连续和离散傅里叶变换都是平移和旋转不变的。 证明：

平移不变：根据二维离散傅立叶变换

可得

旋转不变：根据二维离散傅立叶反变换

4.19 证明离散函数f?x,y??cos?2?u0x?2?v0y?的DFT是

F?u,v??证明：

根据欧拉公式

1??u?Mu0,v?Nv0????u?Mu0,v?Nv0??? ??2F?u,v????cos?2?u0x?2?v0y?e?j2??ux/M?vy/N?x?0y?0M?1N?11M?1N?1?j2??u0x?v0y??j2??u0x?v0y???j2??ux/M?vy/N????e?ee??2x?0y?01M?1N?1j2??Mu0x/M?Nv0y/N??j2??ux/M?vy/N????ee2x?0y?01M?1N?1?j2??Mu0x/M?Nv0y/N??j2??ux/M?vy/N????ee2x?0y?01?j2?Mux/M?Nv0y/N???1???1?e?j2??Mu0x/M?Nv0y/N????1?e?0?2??2?1????u?Mu0,v?Nv0????u?Mu0,v?Nv0????2?其中最后一步由于??1????u,v?，根据DFT平移性

???1?e?j2??u0x/M?v0y/N?????u?u0,v?v0? 。 ?4.29 找出一个等价的滤波器H?u,v?，在他的频率域实现使用图3.37(a)中拉普拉斯模版执行的空间操作。 解：

滤波后的函数为

g?x,y????f?x?1,y??f?x?1,y??f?x,y?1??f?x,y?1????4f?x,y?

又因为G?u,v??H?u,v?F?u,v?，其中

将滤波器变换为频率中心对称

当?u,v??2?M/2,N/2?(变换后滤波器中心)时，H?u,v??0。对于远离中心的值，

H?u,v?降低。重要的一点这是一个高通滤波器的特性，消除了直流分量，留下了高频分量。

4.33

解：

共轭复数只是从j变成了-j在逆变换中，所以右边的图像可以通过下述过程求出：

?a???1??b??c??d??e?x?yf?x,y?M?1N?1x?0y?0x?yF?u,v??????1??M?1N?1x?0y?0f?x,y?e?j2??ux/M?vy/N?F?u,v??????1?1?F?Fu,v?????MN?1?x?yx?yf?x,y?ej2??ux/M?vy/N?M?1N?1M?1N?1?x?yj2??ux/M?vy/N??j2??ux/M?vy/N??1fx,ye ??????????eu?0v?0?x?0y?0?f??x,?y?=f??x,?y?实部为??1?f??x,?y?x?y结果为??1???1?x?y可以知道整个过程只是将f?x,y?上下左右颠倒，从而产生了右边的图像 4.39

解：

(a) 以卷积的形式给出滤波表达式，来减少空间域的处理过程。然后滤波后的图

像由下式给出：

其中h是空间滤波函数，f是输入图像。

直方图处理结果为：

T表示直方图均衡化。如果先进行直方图均衡化，再

与

总体来说，T是由图像像素的属性决定的非线性的函数。因此，

，并且先后顺序是有影响的。

(b) 正如在第4.9节，高通滤波严重削弱了图像的对比度。虽然高频率的改进一些，但并不显著（见图4.59）。因此，如果对一个图像先直方图均衡化，均衡化中对对比度的改进会在滤波过程中严重损失。因此，该过程一般是先滤波再直方图均衡化。 4.41 证明： 因为

，我们可以写出等式(4.11-16)和(4.11-17)，分别为

与

用归纳法证明开始显示两个方程对于n = 1成立；

1m?1???2??1??1与a?1???2??1??2

2我们从4.11.3进

行讨论的部分中知道这些结果是正确的，然后我们假定方程对于n成立，那么可以得出方程对于n+1也成立。 从等式(4.11-14)中，

将m(n)从上式替换得到,

因此，等式(4.11-16)对所有的n都成立。 从等式(4.11-17)中， 将a(n)从上式替换得到,