内容发布更新时间 : 2024/11/14 20:52:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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求解绝对值不等式问题的几种特殊策略(最新）

解含有绝对值的不等式的关键是想法把它转化为不含绝对值的不等式，常见的解法有以下几种：

绝对值不等式的基本模型：

1、x?a?a?0?的解集是-a?x?a 2、x?a(a?0)的解集是x?a或x??a 1、利用绝对值的定义： 例1：解不等式1?2x?1?5.

?2x?1?0?2x?1?0解：原不等式于：（Ⅰ）?或（Ⅱ）?

1??(2x?1)?51?2x?1?5??由（Ⅰ）得：1?x?3或（Ⅱ）得?2?x?0 ∴原不等式的解集为：x?2?x?0或1?x?3. 2、利用绝对值的性质：

2例1：解不等式x?3x?1?3.

??2??x2?3x?4?3?x?3x?1?0　①解：原不等式等价于?即: ?

2??x2?3x?1??3?x?3x?2?0　②由①得?1?x?4 由②得x?2或x?1

∴原不等式的解集为：x?1?x?1或2?x?4. 3、利用平方法：

例1：解不等式3x?2?2x?3.

解：将原不等式两边平方为：9x?12x?4?4x?12x?9即x?1

∴原不等式的解集为：xx?1或x??1.

222????例2、解不等式解：原不等式变为：等价于

，即

∴原不等式的解集为

只有你自己放弃了才是最可怕的事！

1 世上无难事只怕有心人，你就是创造奇迹的人。

4、利用分段讨论法（即零点分段法）： 例1：解不等式x?2?x?4.

解：当x??2时，不等式化为：?(x?2)?x?4∴x??3 当?2?x?0时，不等式化为：x?2?x?4 ∴x?? 当x?0时， x?2?x?4 ∴x?1

综上所述，不等式的解集为：xx??3,或x?1.

??例2. 解不等式

分析：如何去掉两个绝对值的符号？首先找出零点，第一个绝对值的式子的零点为5，第二个式子的零点为解：原不等式变为：

，两个零点把数轴分成三段，故可分为三段讨论。

即

∴原不等式的解集为

注：利用此法解题时要注意x的系数为正。

5、利用绝对值的几何意义：

例1：解不等式x?3?x?2?5.

解：如图所示，不等式x?3?x?2?5表示数轴距A（3）、B（-2）两点的距离之和大于5的点，方程x?3?x?2?5表示在数轴上距A、B两点的距离之和等于5的点。

只有有效的方法，才可能有成效的成果！

2

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-2 · · · ·3 x

-1 B 1 2

∴原不等式的解集为：xx??2,或x?3. 6、利用数形结合法：

7、例1 解不等式x?1?2x?3

解 画出y1?x?1和y2?2x?3的图像，如图所示，求出他们的交点的横坐标分别是x???2和x?43因为x?1?2x?3，所以原不等式的解是y1?y2的交点的横坐标，由图像知：原不等式的解是x?2或x?4. 3例2 若不等式|x?1|?kx对一切x?R恒成立，求实数k的取值范围.

解析：在同一坐标系中分别画出函数y?|x?1|与y?kx的图象（如下图），显然，要使不等式

|x?1|?kx对一切x?R恒成立，须0?k?1，即k的取值范围是[0,1].

yy?kx ?1Ox

例3 若不等式|2x?m|?|3x?6|恒成立，求实数m的取值范围.

解析：在同一坐标系中分别画出函数y?|2x?m|及y?|3x?6|（如下图），由于不等式

|2x?m|?|3x?6|恒成立，所以函数y?|2x?m|的图象应总在函数y?|3x?6|图象的下方，

因此，函数y?|2x?m|的图象也必须经过点(?2,0)，所以m??4.

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3 世上无难事只怕有心人，你就是创造奇迹的人。

y y?|3x?6|y?|2x?m| ?2Ox

评注：运用数形结合的方法求解绝对值不等式问题，既直观形象，又简单易行. 7、利用不等式组法〈即等价转化法〉： 例1：已知关于x的不等式x?2?x?1?a有解，求a的取值范围。

解：令y?x?2??x?1? 则由上知

y?3 将原可不等式变为不等式组

?y?3 因原不等式有解，如图，易?y?a得 a?3 。

例2：已知关于x的不等式x?4?x?3?a的解集为R，求a的取值范围。 解：令y?x?4?x?3，由上知

?1?y?1，故可将原不等式等价变为不等式组??1?y?1 ，如图 ，易得a?1. ??y?a8 、利用绝对值不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b| 例1 解不等式：|2x?log2x|?2x?|log2x|.

解析：首先应有x?0，所以原不等式等价于|2x?log2x|?|2x|?|log2x|，由于在不等式|a?b|?|a|?|b|中，\?\成立的条件是ab?0，所以原不等式等价于2x?log2x?0，而

x?0，所以log2x?0，因此得x?1，故原不等式的解集为?x|x?1?.

评注：要特别注意不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|中各部分等号及不等号成立的条件，利用这些条件可以解决一些绝对值不等式或方程问题.

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例2 若不等式|3x?2|?|3x?1|?m恒成立，求实数m的取值范围.

解析：令f(x)?|3x?2|?|3x?1|，则只须求出函数f(x)的最小值即可.由于

f(x)?|3x?2|?|3x?1|?|(3x?2)?(3x?1)|?3（当(3x?2)(3x?1)?0,即?12?x?时33等号取到），即f(x)的最小值等于3，所以不等式|3x?2|?|3x?1|?m恒成立时，m的取值范围是m?3.

评注：此处用绝对值不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|求最值，f(x)?|3x?2|?|3x?1|的分段讨论，显得非常简单.

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5 避免了对函数