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初三数学平行四边形的专项培优练习题及答案解析

一、平行四边形

1．已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．

（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；

（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）存在，理由见解析; （3）不成立．理由如下见解析. 【解析】

试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；

（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；

（3）由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况，即可求得答案．

试题解析：（1）∵b=2a，点M是AD的中点， ∴AB=AM=MD=DC=a，

又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°， ∴∠AMB=∠DMC=45°， ∴∠BMC=90°． （2）存在， 理由：若∠BMC=90°， 则∠AMB+∠DMC=90°， 又∵∠AMB+∠ABM=90°， ∴∠ABM=∠DMC， 又∵∠A=∠D=90°， ∴△ABM∽△DMC， ∴

AMAB?， CDDM设AM=x，则

xa?， ab?x整理得：x2﹣bx+a2=0， ∵b＞2a，a＞0，b＞0， ∴△=b2﹣4a2＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意， ∴当b＞2a时，存在∠BMC=90°， （3）不成立． 理由：若∠BMC=90°， 由（2）可知x2﹣bx+a2=0， ∵b＜2a，a＞0，b＞0， ∴△=b2﹣4a2＜0， ∴方程没有实数根，

∴当b＜2a时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立． 考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质

2．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．

（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标； （2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H． ①求证△ADB≌△AOB； ②求点H的坐标．

（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（

17，3）；（3）530?33430?334≤S≤． 44【解析】 【分析】

（1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题； （2）①根据HL证明即可；

②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；

（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题； 【详解】 （1）如图①中，

∵A（5，0），B（0，3）， ∴OA=5，OB=3， ∵四边形AOBC是矩形，

∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°， ∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到， ∴AD=AO=5， 在Rt△ADC中，CD=∴BD=BC-CD=1， ∴D（1，3）． （2）①如图②中，

AD2?AC2=4，

由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°， ∵点D在线段BE上， ∴∠ADB=90°，

由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°， ∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．

②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO， 又在矩形AOBC中，OA∥BC， ∴∠CBA=∠OAB， ∴∠BAD=∠CBA，

∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m， 在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2， ∴m2=32+（5-m）2，