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2019-2020年高考数学二轮复习 限时训练8 导数 文
1．设函数f(x)＝
32
－3sinωx－sin ωxcos ωx(ω>0)，且y＝f(x)图象的一个对称中2
π. 4
心到最近的对称轴的距离为(1)求ω的值；
3π??(2)求f(x)在区间?π，?上的最大值和最小值． 2??解：(1)f(x)＝＝＝
32
－3sinωx－sin ωxcos ωx 2
31－cos 2ωx1－3·－sin 2ωx 22231
cos 2ωx－sin 2ωx 22
π??＝－sin?2ωx－?.
3??
π2ππ
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又ω>0，所以＝4×.
42ω4因此ω＝1.
π??(2)由(1)知f(x)＝－sin?2x－?.
3??3π5ππ8π
当π≤x≤时，≤2x－≤.
2333所以－
π?3?≤sin?2x－?≤1.
3?2?
3. 2
因此－1≤f(x)≤3π?3?故f(x)在区间?π，?上的最大值和最小值分别为，－1. 2?2?
2．已知向量m＝(sin 2x，－1)，向量n＝(3cos 2x，－0.5)，函数f(x)＝(m＋n)·m. (1)求f(x)的最小正周期T；
(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a＝13，c＝2，且f(A)恰
?π?是f(x)在?0，?上的最大值，求A和b. 4??
11－cos 4x312
解：(1)f(x)＝(m＋n)·m＝sin2x＋1＋3sin 2xcos 2x＋＝＋1＋sin 4x＋
2222
π??＝sin?4x－?＋2， 6??2ππ
∴T＝＝. 42
π?ππ5π??π?(2)由(1)知f(x)＝sin?4x－?＋2，当x∈?0，?时，－≤4x－≤，
6?4?666??ππ
∴当4x－＝时，f(x)取得最大值3，
62ππ
此时x＝.∴由f(A)＝3得A＝.
66由余弦定理，得a＝b＋c－2bccos A， π222
∴(13)＝b＋2－2×2bcos，∴b＝33.
6
3．已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx,23cos ωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈
2
2
2
?1，1?. ?2???
(1)求函数f(x)的最小正周期；
?π??3π?(2)若y＝f(x)的图象经过点?，0?，求函数f(x)在区间?0，?上的取值范围．
5??4??
解：(1)因为f(x)＝sinωx－cosωx＋23sin ωx·cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋3sin π??2ωx＋λ＝2sin?2ωx－?＋λ.
6??
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴， π??可得sin?2ωπ－?＝±1， 6??
ππk1
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．
62235?1?又ω∈?，1?，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
6?2?6π
所以f(x)的最小正周期是. 5
2
2
?π??π?(2)由y＝f(x)的图象过点?，0?，得f??＝0， ?4??4?
π?5ππ?故λ＝－2sin?×－?＝－2sin＝－2.
4?626?
?5π?故f(x)＝2sin?x－?－2，
6??3
3ππ5π5π
由0≤x≤，有－≤x－≤，
563661?5π?所以－≤sin?x－?≤1，
6?2?3
?5π?得－1－2≤2sin?x－?－2≤2－2，
6??3
?3π?故函数f(x)在?0，?上的取值范围为[－1－2，2－2 ]． 5??
4．已知在平面直角坐标系中，角φ，2x的终边分别与单位圆(以坐标原点O为圆心)交于A，
→→
B两点，函数f(x)＝OA·OB.
2π
(1)若当x＝时，函数f(x)取得最小值，求函数f(x)的解析式；
3
?π?1
(2)若f??＝，求sin 2φ.
?8?2
解：因为角φ，2x的终边分别与单位圆交于A，B两点， →→
所以OA＝(cos φ，sin φ)，OB＝(cos 2x，sin 2x)，
→→
所以f(x)＝OA·OB＝cos 2xcos φ＋sin 2xsin φ＝cos(2x－φ)． 2π
(1)因为当x＝时，函数f(x)取得最小值，
3所以f?
?2π?＝－1，即cos?2×2π－φ?＝－1，
???3?3???
4ππ
所以φ－＝2kπ－π，k∈Z，解得φ＝2kπ＋，k∈Z，
33π?π???所以f(x)＝cos?2x－2kπ－?＝cos?2x－?，
3?3???π??即函数f(x)的解析式为f(x)＝cos?2x－?.
3??
?π?1?π??π
(2)由f??＝知，f??＝cos?2×－φ
8?8?2?8???π?1
所以cos?－φ?＝，
?4?2
?＝1，
?2?
11?π???π???2?π
所以sin 2φ＝cos?－2φ?＝cos?2?－φ??＝2cos?－φ?－1＝2×－1＝－. 42?2???4???4?