内容发布更新时间 : 2024/11/16 21:56:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1.2.1 几个常用函数的导数

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

明目标、知重点

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1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x，y＝，y＝x的导数．

x2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．

1．几个常用函数的导数

原函数 导函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ xf(x)＝x 2.基本初等函数的导数公式 原函数 1f′(x)＝0 f′(x)＝1 f′(x)＝2x f′(x)＝－2 xf′(x)＝12x 1导函数 f(x)＝c f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cos_x f′(x)＝－sin_x f′(x)＝axln_a(a>0) f′(x)＝ex f′(x)＝(a>0且a≠1) xln af′(x)＝ x11

情境导学]

在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求

出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题． 探究点一 几个常用函数的导数

思考1 怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？ Δy答 (1)计算，并化简；

Δx(2)观察当Δx趋近于0时，

Δy趋近于哪个定值； ΔxΔy(3)趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数． Δx思考2 利用定义求下列常用函数的导数： ①y＝c，②y＝x，③y＝x， 1

④y＝，⑤y＝x.

2

x答 ①y′＝0，②y′＝1，③y′＝2x，④y′＝Δlim x→0

Δy＝ Δx11

－x＋Δxx－11lim ＝lim ＝－(其它类同)， Δx→0Δx→0x?x＋Δx?Δxx21⑤y′＝.

2x思考3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率．物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．

(1)函数y＝f(x)＝c(常数)的导数的物理意义是什么？ (2)函数y＝f(x)＝x的导数的物理意义呢？ 答 (1)若y＝c表示路程关于时间的函数，

则y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．

(2)若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

思考4 在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数．

(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？

(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ (3)函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？

答 函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象如图所示，导数分别为y′＝2，y′＝3，y′＝4.

(1)从图象上看，函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别表示这三

条直线的斜率．

(2)在这三个函数中，y＝4x增加得最快，y＝2x增加得最慢．

(3)函数y＝kx(k>0)增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系，k越大，函数增加得越快，k越小，函数增加得越慢．

函数y＝kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k|越大，函数减少得越快，|k|越小，函数减少得越慢．

1

思考5 画出函数y＝的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切

x线方程．

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答 函数y＝的图象如图所示，结合函数图象及其导数y′＝－2发现，xx1

当x<0时，随着x的增加，函数y＝减少得越来越快；当x>0时，随

x着x的增加，函数减少得越来越慢．

1

点(1,1)处切线的斜率就是导数y′|x＝1＝－2＝－1，故斜率为－1，过

1点(1,1)的切线方程为y＝－x＋2.

思考6 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？

答 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度． 探究点二 基本初等函数的导数公式

思考 你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗？ 答 公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例． 例1 求下列函数的导数：

π143x(1)y＝sin；(2)y＝5；(3)y＝3；(4)y＝x；

3x(5)y＝log3x. 解 (1)y′＝0；

(2)y′＝(5)′＝5ln 5；

xx?1?－3－4

(3)y′＝?3?′＝(x)′＝－3x；

x??

331343

(4)y′＝(x)′＝(x)′＝x－＝；

4444

4x(5)y′＝(log3x)′＝

1

. xln 3