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精锐教育学科教师辅导教案

学员编号：年级：高三课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：刘欢 授课类型 C-极坐标与参数方程 C–极坐标与参数方程

C-极坐标与参数方程 授课日期及时段 教学内容 知识点概括 一、坐标系1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。 2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。 3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。 （其中O称为极点，射线OX称为极轴。） ① 设M是平面上的任一点，?表示OM的长度，?表示以射线OX为始边，射线OM为终边所成的角。那么有序数对(?,?)称为点M的极坐标。其中?称为极径，?称为极角。 约定：极点的极坐标是?=0，?可以取任意角。 4．直角坐标与极坐标的互化 海量资源，欢迎共阅 以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为（x，y）和(?,?)，则 二、曲线的极坐标方程 1．直线的极坐标方程：若直线过点M(?0,?0)，且极轴到此直线的角为?，则它的方程为：?sin(???)??0sin(?0??) 几个特殊位置的直线的极坐标方程 （1）直线过极点（2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴（3）直线过M(b,)且平行于极轴 2．圆的极坐标方程：若圆心为M(?0,?0)，半径为r的圆方程为： 几个特殊位置的圆的极坐标方程 （1）当圆心位于极点（2）当圆心位于M(r,0)（3）当圆心位于M(r,) 2?2?3．直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化 利用：x??2? 三、参数方程 1．参数方程的意义 x?在平面直角坐标系中，若曲线C上的点P(x,y)满足??f(t)，该方程叫曲线?y?f(t)C的参数方程，变量t是参变数，简称参数 2．参数方程与普通方程的互化 参数方程化为普通方程 常见参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线： ?x?x0?at?x?acos?(t为参数）⑴?（?为参数）；⑵? y?y?bt0??y?bsin??x?(t?)?x?sin???2t（t为参数） ??[0,2?)（4）?（3）?2b1?y?cos??y?(t?)?2t?a1（5）?☆参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！ 2

?x?a?rcos?（?为参数） ?y?b?rsin?海量资源，欢迎共阅 二、考点阐述 考点1、极坐标与直角坐标互化 例题1、在极坐标中，求两点P(2,),Q(2,?)之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。 44π??≥0，0≤??练习1.1、已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为?cos??3，??4cos????，则?2???曲线C1与C2交点的极坐标为． ???23??cos??3??【解析】我们通过联立解方程组?,即两曲线的交点为(??0,0???)解得??2???4cos????6??(23,)。 6(x?1)2?(y?3)2?1，1．2.（宁夏09）已知圆C：则圆心C的极坐标为_______(??0,0???2?) 答案：（(2,考点2、极坐标与直角坐标方程互化 例题2、已知曲线C的极坐标方程是??4sin?．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为?2t?x??2x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是?(t为参数），点P是?y??4?2t??22?)） 3曲线C上的动点，点Q是直线l上的动点，求|PQ|的最小值． 解：曲线C的极坐标方程??4sin?可化为?2?4?sin?, 其直角坐标方程为x2?y2?4y?0，即x2?(y?2)2?4.……………（3分） 直线l的方程为x?y?4?0. 所以，圆心到直线l的距离d??2?42?32……………………（6分） 所以，PQ的最小值为32?2.…………………………（10分） 练习2.1、（沈阳二中2009）设过原点O的直线与圆C：(x?1)2?y2?1的一个交点为P，点M为线段OP的中点。 (1) 求圆C的极坐标方程； 海量资源，欢迎共阅 (2) 求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线． 解：圆(x?1)2?y2?1的极坐标方程为??2cos?……4分 设点P的极坐标为(?1,?1)，点M的极坐标为(?,?)， ∵点M为线段OP的中点，∴?1?2?，?1??……7分 将?1?2?，?1??代入圆的极坐标方程，得??cos? ∴点M轨迹的极坐标方程为??cos?，它表示圆心在点(,0)，半径为的圆．……10分 考点3、参数方程与直角坐标方程互化 ??x??2?10cos?例题3：已知曲线C1的参数方程为?（?为参数），曲线C2的极坐标方程为??y?10sin?1212??2cos??6sin?． （1）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线C1，C2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由． ??x??2?10cos?解：（1）由?得 ??y?10sin? ∴曲线C1的普通方程为(x?2)2?y2?10 ∵??2cos??6sin? ∴?2?2?cos??6?sin? ∵?2?x2?y2,x??cos?,y??sin? ∴x2?y2?2x?6y，即(x?1)2?(y?3)2?10 ∴曲线C2的直角坐标方程为 (x?1)2?(y?3)2?10…………………………………（５分） （2）∵圆C1的圆心为(?2,0)，圆C2的圆心为(1,3) ∴C1C2?(?2?1)2?(0?3)2?32?210 4

海量资源，欢迎共阅 ∴两圆相交 设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C1C2 ∴()2?(d2322)?(10)2 2 ∴d?22 ∴公共弦长为22……………………（10分） 练习3.1（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程. ?x?3?2cos?(?为参数，0≤?<2π)， 已知曲线C：??y?1?2sin?（Ⅰ）将曲线化为普通方程； （Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程． （Ⅰ）x2?y2?23x?2y?0 …5分 （Ⅱ）??2?3cos??sin?? …10分 x?cos?练习3.2（08海南）已知曲线C1：?(?为参数)，曲线??y?sin??x??C2：???y???2t?22(t为参数)。 2t2（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数； （2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1'，C2'。写出C1'，C2'的参数方程。C1'与C2'公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。 考点4：利用参数方程求值域 例题4、（2008年宁夏） 1?x??22?t??x?1?cos??2(t为参数）在曲线C1：?的(?为参数）上求一点，使它到直线C2：??y?sin??y?1?1t??2距离最小，并求出该点坐标和最小距离。 解：直线C2化成普通方程是x+y-22-1=0……………………………………2分 设所求的点为P（1+cos?,sin?),……………………………………………3分