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第七节 双曲线

[考纲传真] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单的几何性质．3.了解双曲线的简单应用．4.理解数形结合的思想．

1．双曲线的定义

(1)平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线，定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．

(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中a，c为常数且a>0，c>0.

①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2y2a2－b2＝1(a>0，b>0) y2x2a2－b2＝1(a>0，b>0) 图形 范围 性质 对称性 顶点 x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 离心率 a，b，c的关系 by＝±ax ay＝±bx ce＝a，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )

x2y2

(2)方程m－n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )

x2y2x2y2xy

(3)双曲线方程2－2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是2－2＝0，即±mnmnmn＝0.( )

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√

x2y2

2．(教材改编)已知双曲线a2－3＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( ) A．2 5C.2 c

D [依题意，e＝a＝∴6B.2 D．1

a2＋3

a＝2，

a2＋3＝2a，则a2＝1，a＝1.]

x2y2

3．(2017·福州质检)若双曲线E：9－16＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )

【导学号：57962406】

A．11 C．5

B．9 D．3

B [由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||

＝2a＝6，∴|PF2|＝9.]

x2y2

4．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程2－＝1表示双曲线，且该双曲线两

m＋n3m2－n焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )

A．(－1,3) C．(0,3)

B．(－1，3) D．(0，3)

A [∵原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为4.

222???m＋n＋3m－n＝4，?m＝1，∴?则?

2222????m＋n??3m－n?>0，?－m

因此－1

x2y2

5．(2016·北京高考)双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝__________.

x2y2b2 [双曲线a2－b2＝1的渐近线方程为y＝±

ax，易得两条渐近线方程互相垂b

直，由双曲线的对称性知a＝1.

又正方形OABC的边长为2，所以c＝22， 所以a2＋b2＝c2＝8，因此a＝2.]

双曲线的定义及应用 y2 (2015·全国卷Ⅰ改编)已知F是双曲线C：x－8＝1的右焦点，P是C

2

的左支上一点，A(0,66)．则△APF周长的最小值为__________．