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§2.5 指数与指数函数

2014高考会这样考 1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质；2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用．

复习备考要这样做 1.重视指数的运算，熟练的运算能力是高考得分的保证；2.掌握两种情况下指数函数的图象和性质，在解题中要善于分析，灵活使用；3.对有关的复合函数要搞清函数的结构．

1． 根式的性质

n

(1)(a)n＝a.

n(2)当n为奇数时an＝a.

n当n为偶数时an＝{a ?a≥0?－a ?a<0? 2． 有理数指数幂

(1)幂的有关概念

*

①正整数指数幂：an＝a·a·…·a (n∈N)． 个n②零指数幂：a0＝1(a≠0)．

1－

③负整数指数幂：ap＝p(a≠0，p∈N*)．

a

mn④正分数指数幂：a＝am(a>0，m、n∈N*，且n>1)．

nm11

⑤负分数指数幂：a－＝＝ (a>0，m、n∈N*，且n>1)．

nmn

aamn

⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ars(a>0，r、s∈Q)；

＋

②(ar)s＝ars(a>0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 3． 指数函数的图象与性质

y＝ax a>1 00时，(4)当x>0时，y>1； 01 (7)在(－∞，＋∞)(6)在(－∞，＋∞)上是增函数 上是减函数 数a按：01进行分类讨论． [难点正本 疑点清源]

1． 根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂

的运算，从而可以简化计算过程．

2． 指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：01

进行分类讨论．

3． 比较指数式的大小方法：利用指数函数单调性、利用中间值．

1

1． 化简[(－2)6]－(－1)0的值为________．

2

答案 7

11

解析 [(－2)6]－(－1)0＝(26)－1＝23－1＝7.

22

2． 若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是__________．

答案 (－2，－1)∪(1，2)

解析 由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0

3． 若函数f(x)＝ax－1 (a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.

答案

3

解析 当a>1时，x∈[0,2]，y∈[0，a2－1]． 因定义域和值域一致，故a2－1＝2，即a＝3. 当0

4． (2012·四川)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是 ( )

a