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2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何

1、（2010一试7）正三棱柱ABC?A1B1C1的9条棱长都相等，P是CC1的中点，二面角

B?A1P?B1??,则sin??

【答案】【解析】

10 4A1C1EB1OAPCB

设分别与平面BA1P、平面B1A1P垂直的向量是m?(x1,y1,z1)、n?(x2,y2,z2)，则

??m?BA1??2x1?2z1?0, ???m?BP??x1?3y1?z1?0,??n?B1A1??2x2?0, ???n?B1P??x2?3y2?z2?0,由此可设m?(1,0,1),n?(0,1,3)，所以m?n?m?ncos?，即

3?2?2cos??cos??610.所以sin??. 44解法二：如图，PC?PC1,PA1?PB .

设A1B与AB1交于点O,则OA1?OB,OA?OB1,A1B?AB1 .

因为 PA?PB1,所以 PO?AB1,从而AB1?平面PA1B .

过O在平面PA1B上作OE?A1P,垂足为E.

连结B1E,则?B1EO为二面角B?A1P?B1的平面角.设AA1?2,则易求得

PB?PA2,PO?3. 1?5,A1O?B1O?在直角?PA1O中，A1O?PO?A1P?OE,即2?3?5?OE,?OE?65.

又B1O?2,?B1E?B1O2?OE2?2?645BO210?.sin??sin?B1EO?1??55B1E4545.

2、（2011一试6）在四面体ABCD中，已知?ADB??BDC??CDA?60?，AD?BD?3，CD?2，则四面体ABCD的外接球的半径为 【答案】3 【解析】

因为?CDA??CDB??ADB?60?，设CD与平面ABD所成角为?，可求得cos??1223CD?1,DN??DP???3?3． 233213?2，

13,sin??23．

在△DMN中，DM?由余弦定理得MN2?12?(3)2?2?1?3?故MN?2．四边形DMON的外接圆的直径

OD?MN?sin?223?3．故球O的半径R?3．

3、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥P?ABC和Q?ABC内接于同一个球．若正三棱锥P?ABC的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q?ABC的侧面与底面所成角的正切值是． 【答案】4 【解析】

1AH,因为?PAQ?90,AH?PQ, 2122所以AP?PH?QH,即AH?AH?QH.

2QH?4 所以QH?2AH?4MH.,故tan?QMH?MH,从而PH?MH?