内容发布更新时间 : 2024/5/3 23:49:04星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式；

，﹣3）和点B（3，0）．过

（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；

（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC=S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出解析式； （2）设P坐标为（x，x2﹣

x），表示出AD与PD，由相似分两种情况得比例

求出x的值，即可确定出P坐标；

（3）存在，求出已知三角形AOC边OA上的高h，过O作OM⊥OA，截取OM=h，与y轴交于点N，分别确定出M与N坐标，利用待定系数法求出直线MN解析式，与抛物线解析式联立求出Q坐标即可． 【解答】解：（1）把A（解得：a=，b=﹣

，

x；

x），则有AD=x﹣，即

=

，PD=x2﹣，

x+3，

，﹣3）和点B（3

，0）代入抛物线得：

，

则抛物线解析式为y=x2﹣（2）设P坐标为（x，x2﹣当△OCA∽△ADP时，

=

整理得：3x2﹣9解得：x=此时P（

x+18=2

x﹣6，即3x2﹣11

或x=

x+24=0，

，即x=

，﹣）；

=

（舍去）

当△OCA∽△PDA时，

x2﹣9x+6

，即

，即x2﹣5或

=，

整理得：解得：x=此时P（4

=6x﹣6x+12=0，

，即x=4

，6）．

（舍去），

综上，P的坐标为（，﹣）或（4

，

，6）；

（3）在Rt△AOC中，OC=3，AC=根据勾股定理得：OA=2∵OC?AC=OA?h， ∴h=， ∵S△AOC=S△AOQ=

，

，

∴△AOQ边OA上的高为，

过O作OM⊥OA，截取OM=，过M作MN∥OA，交y轴于点N，如图所示：

在Rt△OMN中，ON=2OM=9，即N（0，9），

过M作MH⊥x轴，

在Rt△OMH中，MH=OM=，OH=设直线MN解析式为y=kx+9， 把M坐标代入得：=

k+9，即k=﹣

，即y=﹣

x+9，

OM=

，即M（

，），

联立得：，

解得：或，即Q（3，0）或（﹣2，15），

，0）或（﹣2

，

则抛物线上存在点Q，使得S△AOC=S△AOQ，此时点Q的坐标为（315）．

【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

2．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D． （1）求抛物线的解析式；

（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；

（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．