内容发布更新时间 : 2024/7/7 7:08:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第一讲 等差数列、等比数列
[考情分析]
等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查基本运算、基本概念的同时，也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查；对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和的最大、最小值等问题，主要是中低档题；等差数列、等比数列的前n项和是高考考查的重点.
年份 2017 卷别 Ⅰ卷 Ⅰ卷 2015 Ⅱ卷 考查角度及命题位置 等差、等比数列的综合应用·T17 等差数列的通项公式及前n项和公式·T7 等比数列的概念及前n项和公式·T13 等差数列的通项公式、性质及前n项和公式·T5 等比数列的通项公式及性质·T9 [真题自检]
1．(2015·高考全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( ) A．5 C．9
B．7 D．11
解析：法一：∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝
a1＋a5
2
＝5a3＝5.
法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1， 5×4
∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5.
2解析：A
2．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则
a10＝( )
17A. 2C．10
8×
解析：∵公差为1，∴S8＝8a1＋
B.19 2
D．12
8－1
×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. 2
1
∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，
2119
∴a10＝a1＋9d＝＋9＝. 22
答案：B
3．(2015·高考全国卷Ⅰ改编)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，求n的值．
解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵Sn＝126，∴－2
1－2
n＝126，∴n＝6.
等差数列、等比数列的基本运算
[方法结论]
1．两组求和公式 (1)等差数列：Sn＝(2)等比数列：Sn＝
na1＋an2－q1－qn＝na1＋＝
nn－
2
d；
a1
a1－anq(q≠1)． 1－q2．在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和
d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．
[题组突破]
1．(2017·贵阳模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a9＝16，则S11＝( ) A．88 C．96
解析：依题意得S11＝
B．48 D．176
a1＋a11
2
＝a3＋a9
2
＝11×16
＝88，选A. 2
优解：依题意，可考虑将题目中的等差数列特殊化为常数列(注意慎用此方法)，即an＝8，因此
S11＝88，选A.
答案：A
2．(2017·海口模拟)已知数列{an}，an＞0, 它的前n项和为Sn，且2a2是4a1与a3的等差中项．若{an}为等比数列，a1＝1，则S7＝________.
1－2解析：设数列{an}的公比为q，依题意有a1＝1,4a2＝4a1＋a3，即4q＝4＋q，故q＝2，则S7＝
1－2
2
7
＝127. 答案：127
3．(2017·长沙模拟)已知数列{an}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝3a2. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}中，b1＝1，b2＝2，从数列{an}中取出第bn项记为cn，若{cn}是等比数列，求{bn}的前
n项和．
??2a1＋3d＝8
解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，依题意有?
?a1＋4d＝3a1＋3d?
，解得a1＝1，d＝2，
从而{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N. (2)c1＝ab1＝a1＝1，c2＝ab2＝a2＝3， 从而等比数列{cn}的公比为3， 因此cn＝1×3
n－1
*
＝3
n－1
.
另一方面，cn＝abn＝2bn－1， 所以2bn－1＝33
因此bn＝n－1
n－1
，
＋1. 2
记{bn}的前n项和为Sn， 则Sn＝
＋3＋…＋3
2
1
n－1
＋n3＋2n－1＝.
4
n[误区警示]
在运用等比数列前n项和公式时，一定要注意判断公比q是否为1，切忌盲目套用公式导致失误．
等差数列、等比数列的性质
[方法结论]
1．等差数列、等比数列常用性质：
等差数列 (1)若m，n，p，q∈N，且m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq； *等比数列 (1)若m，n，p，q∈N，且m＋n＝p＋q， 则am·an＝ap·aq； (2)an＝amqn－m*性质 (2)an＝am＋(n－m)d； (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列 ； (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0) 2.等差数列中利用中项求和： (1)若n为奇数，则Sn＝nan+1.
2(2)若n为偶数，则Sn＝(an＋an)．
2＋122n3．在等差数列中，当项数为偶数2n时，有S偶－S奇＝nd，有S奇－S偶＝an，
S偶an＋1
＝；当项数为奇数2n－1时， S奇anS偶n－1＝. S奇nS偶
＝q. S奇
4．在等比数列中，当项数为偶数2n时，