内容发布更新时间 : 2025/1/8 4:24:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
二 用数学归纳法证明不等式
学习目标 1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.2.了解贝努利不等式，并会证明贝努利不等式.3.体会归纳—猜想—证明的思想方法．
知识点 用数学归纳法证明不等式
思考1 用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么？ 答案 (1)归纳奠基：验证初始值n＝n0.
(2)归纳递推：在假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)成立的前提下，证明n＝k＋1时问题成立． 思考2 证明不等式与证明等式有什么不同？ 答案 证明不等式需注意的是对式子进行“放缩”． 梳理 (1)利用数学归纳法证明不等式
在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k时命题成立，推导n＝k＋1命题成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行． (2)贝努利(Bernoulli)不等式
如果x是实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的自然数，则有(1＋x)＞1＋nx. (3)贝努利不等式的推广
事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数α时， 仍有类似不等式成立．
①当α是实数，并且满足α＞1或者α＜0时，有(1＋x)≥1＋αx(x＞－1)； ②当α是实数，并且满足0＜α＜1时，有(1＋x)≤1＋αx(x＞－1)．
α
α
n
类型一 数学归纳法与放缩法结合证明不等式
1111
例1 证明：1＋2＋2＋…＋2＜2－(n∈N＋，n≥2)．
23nn151353
证明 (1)当n＝2时，左边＝1＋2＝，右边＝2－＝，由于＜，因此命题成立．
242242(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥2)时，命题成立， 1111
即1＋2＋2＋…＋2＜2－. 23kk 1
111111111
当n＝k＋1时，1＋2＋2＋…＋2＋＜2－＋＜2－＋＝2－＋
23k?k＋1?2k?k＋1?2kk?k＋1?k?1－1?＝2－1，
?kk＋1?k＋1??
即当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，不等式对一切n∈N＋，n≥2都成立．
反思与感悟 在归纳递推过程中常用到放缩法，这也是在用数学归纳法证明不等式问题时常用的方法之一．
111
跟踪训练1 用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋n＜n(n∈N＋，n＞1)．
232－111
证明 (1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，
23左边＜右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k＞1，k∈N＋)时，不等式成立， 111
即1＋＋＋…＋k 232－1则当n＝k＋1时， 1111111111×2有1＋＋＋…＋k＋k＋k＋…＋k＋1 232－122＋12－122＋12－12＝k＋1， 所以当n＝k＋1时，不等式成立． 由(1)(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立． 类型二 利用数学归纳法证明数列不等式 1 例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)． 2 ?1? (1)判断??是否为等差数列，并证明你的结论； ?Sn? k11222 (2)证明：S1＋S2＋…＋Sn≤－(n≥1且n∈N＋)． 24n?1?1 (1)解 ??是等差数列，证明如下：S1＝a1＝， 2?Sn? 1 所以＝2. S1 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1. ?1?111 所以－＝2.故??是以2为首项，2为公差的等差数列，且＝2n. SnSn－1 ?Sn? Sn(2)证明 ①当n＝1时， 2 S21＝＝－ 1 4121 ，不等式成立． 4×1 ②假设当n＝k(k≥1)时，不等式成立， 11222 即S1＋S2＋…＋Sk≤－成立， 24k1?11111?12222 －则当n＝k＋1时，S1＋S2＋…＋Sk＋Sk＋1≤－＋＝－2? ?2 24k4?k＋1?24?k?k＋1??11k＋k＋111k＋k＝－·2＜－·2 24k?k＋1?24k?k＋1? 11＝－.即当n＝k＋1时，不等式成立． 24?k＋1?由①②可知，对任意n∈N＋不等式都成立． 反思与感悟 (1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识，这是解决这类问题的基础． (2)此类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的式子是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、猜想，归纳出一个式子，然后再用数学归纳法证明． 1 跟踪训练2 设0＜a＜1，定义a1＝1＋a，an＋1＝＋a，求证：对一切正整数n，有1＜an＜ 2 2 an1. 1－a1 证明 (1)当n＝1时，a1＞1，a1＝1＋a＜，命题成立． 1－a(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，命题成立，即1＜ak＜当n＝k＋1时， 1 由递推公式知，ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1. 1. 1－aak1－a1 同时，ak＋1＝＋a＜1＋a＝＜， ak1－a1－a1 故当n＝k＋1时，命题也成立，即1＜ak＋1＜ 1 . 1－a2 1 综合(1)(2)可知，对一切正整数n，有1＜an＜. 1－a 1．用数学归纳法证明3≥n(n≥3，n∈N＋)，第一步验证( ) A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝4 n3 3