内容发布更新时间 : 2024/12/22 21:51:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
π6π3α－?＝，sin?α－?＝， (2)依题意得，2sin??4?5?4?5π3πππ
∵<α<，∴0<α－<， 4442π
α－?＝∴cos??4?
πα－?＝1－sin2??4?3?24
1－??5?＝5，
ππ?π
＋α＝2sin??4＋α?－? ∴f ???4?4?
??ππα－?＋? ＝2sin????4?4?ππππα－?cos ＋cos?α－?sin ? ＝2?sin??4??4?44
??＝2×2?34?72×＋＝. 2?55?5
19.(15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，CD＝2AB＝4，BC＝22.
(1)求证：PC⊥BD；
π
(2)若直线AB与平面PBD所成的角为，求PA的长．
6
解 (1)连接AC，在△ABC中，因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝22， AB2
所以tan∠ACB＝＝.
BC2
因为AB∥CD，AB⊥BC，所以CD⊥BC.
BC2
在Rt△BCD中，因为CD＝4，所以tan∠BDC＝＝，
CD2所以tan∠ACB＝tan∠BDC， 所以∠ACB＝∠BDC.
ππ
因为∠ACB＋∠ACD＝，所以∠BDC＋∠ACD＝，所以BD⊥AC.
22因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.
又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC. 因为PC?平面PAC，所以PC⊥BD.
(2)方法一 如图，设PA＝t，AC与BD交于点M，连接PM，过点A作AH⊥PM于点H，连接BH.
由(1)知，BD⊥平面PAC，又AH?平面PAC，所以BD⊥AH.
因为AH⊥PM，PM?平面PBD，BD?平面PBD，PM∩BD＝M，所以AH⊥平面PBD， 所以∠ABH为直线AB与平面PBD所成的角． 在Rt△ABC中，因为AB＝2，BC＝22，所以AC＝AB223
所以由三角形相似得AM＝＝.
AC3
PA·AM
＝PM
PA·AMPA＋AM
2
AB2＋BC2＝23，
t×
2
在Rt△PAM中，易知AH＝＝233. 42t＋
3
ππ
因为直线AB与平面PBD所成的角为，所以∠ABH＝.
6623
t×
34t2＋
31AH
所以sin∠ABH＝＝＝，
AB22所以t＝2， 所以PA的长为2.
方法二 取CD的中点E，连接AE，
因为AB∥CD，CD＝2AB＝4，所以AB∥CE且AB＝CE， 所以四边形ABCE是平行四边形，所以BC∥AE. 因为AB⊥BC，所以AB⊥AE.
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AE，
故AE，AB，AP两两垂直，故以A为坐标原点，AE，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
→
设PA＝t，因为CD＝2AB＝4，所以A(0,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0，t)，D(22，－2,0)，所以AB＝→→
(0,2,0)，BP＝(0，－2，t)，BD＝(22，－4,0)．
→??BP＝0，?n·?－2y＋tz＝0，
设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，则?即?
→???22x－4y＝0，BD＝0，?n·
22
2，1，?为平面PBD的一个法向量． 令x＝2，则y＝1，z＝，故n＝?t??tπ
因为直线AB与平面PBD所成的角为，
6→
π|n·AB|→
所以sin ＝|cos〈n，AB〉|＝＝
6→
|n|·|AB|1
＝， 2所以t＝2. 所以PA的长为2.
20．(15分)数列{an}满足： a1＝1，a2＝2，an＋2＝[2＋(－1)n]an＋2，n＝1,2,3，…. (1)求a3，a4，并证明数列{a2n＋1}是等比数列； (2)求数列{an}的前2n项和S2n. 解 (1) 当n＝1时，a3＝a1＋2＝3， 当n＝2时，a4＝3a2＋2＝8，
令n＝2k，a2k＋2＝3a2k＋2(k＝1,2,3，…)， 即a2k＋2＋1＝3(a2k＋1)(k＝1,2,3，…)． 所以数列{a2n＋1}是等比数列．
(2)由(1)得，当n为偶数时，an＝3－1，
当n为奇数时， an＋2＝an＋2，即数列{an}的奇数项构成等差数列，可求得an＝n，
n2243＋2×2t
??n，n是奇数，
{an}的通项公式an＝?n??32－1，n是偶数.
1
所以在前2n项中，S奇＝n·1＋nn－1·2＝n2，
2
()
n
31－31n1
S偶＝－n＝3＋－3－n，
21－3
()
()
1n1
S2n＝S奇＋S偶＝3＋－3＋n2－n.
2
()
1
21．(15分)已知平面上一动点P到定点C(1,0)的距离与它到直线l：x＝4的距离之比为.
2(1)求点P的轨迹方程；
→→
(2)点O是坐标原点，A，B两点在点P的轨迹上，F是点C关于原点的对称点，若FA＝λBF，求λ的取值范围．
解 (1)设P(x，y)是所求轨迹上的任意一点，
1
由动点P到定点C(1,0)的距离与它到直线l：x＝4的距离之比为，
2则
?x－1?2＋y21x2y2x2y2
＝，化简得＋＝1，即点P的轨迹方程为＋＝1. 24343|x－4|
(2)由F是点C关于原点的对称点，所以点F的坐标为(－1,0)， →→
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为FA＝λBF， 则(x1＋1，y1)＝λ(－1－x2，－y2)，
??x1＝－1－λ－λx2，可得?
??y1＝－λy2，
222?－1－λ－λx??－λy?22x1y21∵＋＝1，即＋＝1，① 43432x2y2?λx2?2?λy2?222又由＋＝1，则＋＝λ，②
4343
2λ?λ＋1?x2＋?λ＋1?2
①－②得＝1－λ2，
43－5λ
化简得x2＝，
2λ