内容发布更新时间 : 2024/9/23 18:22:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
一、等差数列知识梳理
1.定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数). 2.通项公式：若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. 3.前n项和公式：Sn?na1?n(a1?an)n(n?1)其中n∈N*，a1为首项，d为公差， d?223.等差数列的常用性质：已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和. (1)通项公式的推广：an?am?(n?m)d(n,m?N*)
(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有am?an?ap?aq。特别的，当m?n?2p时，am?an?2ap (3)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.
(4)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. (5)若{an},{bn}是等差数列，则{pan?qbn}仍是等差数列. 4.与等差数列各项和相关的性质 （1）若{an}是等差数列，则{Sn1}也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为{an}的公差的。 n2（2）数列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m…也是等差数列. （3）关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。 a.若项数为2n，则S偶?S奇?nd,S奇a?n。 S偶an?1S奇n。 ?S偶n?1 b.若项数为2n?1，则S偶?n(n?1)an，S奇?nan，S偶?S奇?an,（4）若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn，则5.等差数列的前n项和公式与函数的关系： （1）S?anS2n?1? bnT2n?1d2dSn＝An2＋Bn(A，B为常数). n?(a1?)n，数列{an}是等差数列?
22（2）在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.
二、考点梳理
1
例1.(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( ) A.100
例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.
练习1.(2015·全国Ⅰ卷)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和.若S8＝4S4，则a10等于( ) 17A. 2
2.等差数列的性质
例1.(2015·全国Ⅱ卷)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( ) A.5
B.7
C.9
D.11
19
B.
2
C.10
D.12
B.99
C.98
D.97
例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( ) A.63
例3.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( ) A.13
B.12
C.11
D.10
B.45
C.36
D.27
例4.(2015·广东卷)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.
例5.(2016·武汉调研)已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于( ) A.－1 B.－2
Sn2n－3a9a3例6.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为Tn4n－3b5＋b7b8＋b4________.
3.等差数列与函数
例1.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是( ) A.5
C.－3 D.－4
B.6 C.7
2
D.8
例2.设等差数列{a}的前n项和为Sann，a1>0且69
a＝，则当S511n取最大值时，n的值为( )
A.9
B.10
C.11
D.12
例3.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A.a1＋a101＞0 B.a2＋a100＜0 C.a3＋a99＝0 D.a51＝51
例4.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝24，则a6·a7的最大值为( ) A.36 B.6
C.4
D.2
例5.设{Sn}是公差为d（d?0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是（ ） A.若d<0，则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项，则d<0 C.若数列{Sn}为递增数列，则对任意n?N*，均有Sn>0 D.若对任意n?N*，均有Sn>0，则数列{Sn}为递增数列
例6.设等差数列{an}满足a2＝7，a4＝3，Sn是数列{an}的前n项和，则使得Sn>0成立的最大的自然数n是(A．9 B．10 C．11 D．12
二、 等比数列
知识梳理
3
)