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济南大学2015～2016学年第一学期课程考试试卷（A卷）

课 程 线性代数与空间解析几何 考试时间 2016 年 1 月 11日

………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。………………

一、填空题（每小题3分，共15分）

?10??10?2?1????? 1、设A?(aij)??04?204????14??,则a21????11????11??????1120??? 2、矩阵A??12?14? 的秩R(A)= .

??10?54??? 3、过点(2,-2,1)且与平面x+y-3z=2垂直的直线方程是 . .

?z?x2?2y2 4、曲线?在xOy坐标平面上的投影曲线为 . 2?z?2?x?10??1?30? 5、?????110152????

2.

二、选择题（每小题3分，共15分）

1、已知3阶矩阵A的行列式|A|=3，则|3A?1|= [ ] (A) 1； (B)

11 ； (C) 9； (D) ． 981xyzx032、已知行列式051?a，则行列式y5?12?[ ]

1?41z13(A) 0； (B) a； (C) 3a； (D) ?3a.

3、已知n维的向量组?1,?2,?,?m(m?2)线性无关，则[ ]

(A) n>m；

(B) ?1,?2,?,?m中任意两个向量都线性无关； (C) 对任意n维向量?，有?1,?2,?,?m,?线性无关； (D) 对任意n维向量?都可由?1,?2,?,?m线性表示．

4、设向量??(1,2,1)T可由向量组?1?(a,a,a)T,?2?(a?1,a,a?1)T,?3?(1,1,a?1)T线性表示，但表达式不唯一，则a的值为[ ]

(A) a =2； (B) a = 0； (C) a =0或a =2； (D) a?0且a ?2.

5、已知3阶矩阵A的行列式|A |<0，且满足关系式A2-A-2E=O，则A的所有特征值为[ ]

(A) -1, 2； (B) 1, -2； (C) -1, -1, 2； (D) -1, 2, 2.

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三、计算题（每小题10分，共30分）

12 1、计算行列式D?342341341241. 23?25??10??12、已知B??,C????,BAC=E, 求A .

?13??21?3、已知向量组A：?1?(1,2,1)T,?2?(2,3,1)T,?3?(a,3,1)T,?4?(2,b,3)T的秩为2，求a，b的值及向量组A的一个最大无关组．

四、应用题（满分15分）已知三个平面的方程分别为：?1:x?y?z?1,?2:x?z?b,?3:3x?2y?az?1.

讨论a, b为何值时：

(1)三平面交于一点；(2)三平面两两交于一条直线；(3)三平面交于一条直线, 并写出此直线的标准方程.

五、综合题（满分15分）已知二次型f(x,y,z)?2x2?4y2?bz2?2axy(a?0)的矩阵A的特征值之和为1，特

征值之积为-72.

（1）求a,b的值； （2）求正交变换，把f(x,y,z)化为标准二次型； （3）讨论方程2x2?4y2?bz2?2axy?C (a>0, C为任意实数)的图形类型.

六、证明题（每小题5分，共10分）

1、已知3阶矩阵A的各行元素之和为2，|A+E|=0，齐次方程组Ax=0有非零解，证明矩阵A与对角矩阵?相似，并写出?.

2、设A是3阶矩阵，?1,?2,?3是3维列向量，且线性无关，已知A?1??1?2?2?3?3,A?2?2?1?2?2?4?3,

A?3?3?1??2?3?3,证明A?1,A?2,A?3线性无关，并求|A |.

?x2?y2?1?1?30?x?2y?2z?1一、填空题 1． 4 ； 2． 2 ; 3．； 4．?； 5.????. 292z?011?3???二、选择题 1.（C） 2.（C） 3.（B） 4．(A) 5．（D） 三、计算题 121、

34234134122641234123410?1?2?70?1?2?7?? 211?310?1?6?331?3110?5?2?31?1712712763?04?4=160. 3?1?5?2?30832?5?2?312另解：

34234134124111?10213123413412412341011?3?10 202?2?230?1?1?1第 2 页， 共 2 页

1?2011?311?3?1?1?200?22?160

00?4?1?1?12、?B?1,C?1，?B,C可逆

?A?B?1C?1?(CB)?1 ?10??25??25??A-1?CB?????=??

?21??13??513??12a2?13??1113??11??233b???011b?6? 3、令A??233b??????????12a2????00a?25?b???1113?? 因为A的秩为2，所以a?2,b?5 一个最大无关组为：?1,?2 四、应用题

?x?y?z?1??z?b 解：三个平面方程联成的方程组为：?x?3x?2y?az?1?11?11??1111??11?11??????21?b(A|b)=10?1b?0?1?2b?1?01?????? ????32a1???0?1a?3?2???00a?1?b?1??（1）三平面交于一点，即方程组有唯一解，从而R(A)=R(A|b)= 3, 所以a?1?0,a?1,b?R

(2) 两两交于一条直线，即方程组无解，从而R(A)?R(A|b)， 所以a?1?0且?b?1?0.即a?1且b??1. （3）三平面交于一条直线，即方程组有无穷多解， 从而R(A)=R(A|b)=2<3,所以a?1且b??1.

?1111??10?1?1?????2 此时，(A|b) ?0122?012???? ??0??0000???000? 通解为：k(1,?2,1)T?(?1,2,0)T,k为任意常数.

该直线的标准方程为：

x?1y?2z?? 1?21?2a0?a?40? 五、综合题（1）二次型的矩阵A??????00b???A?b(?8?a2)??72由题意知：?， 解之得a?4,b?3

1?2?(?4)?b?第 3 页， 共 2 页