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四川大学期末考试试题 (A卷)答案及评分标准

考试科目：常微分方程 适用专业名称：基础数学、应用数学、计算数学

1、选择填空，只有一个答案正确（30分，每小题5分） (1) 考虑线性系统dx/dt=A(t)x,其中A是n?n实矩阵函数、t?R, x ?Rn。其所有的解构成一个__a____ 。 (a) n维线性空间，(b) n2维线性空间，(c) 无穷维线性空间, (d) 不是线性空间。 (2) 设X(t)是(1)考虑的系统的基本解矩阵，若C是n?n可逆实矩阵，下列也是基本解矩阵的是___b___ 。 (a) CX((t), (b) X((t)C, (c) C+ X((t)， (d) C- X((t)。 (3) X(t)是(1)考虑的系统的基本解矩阵，则它具有初值条件x(t0)=x0的解为___c___ 。 (a) x(t)=exp(A(t-t0))x0 (b) x(t)=X(t-t0)x0, (c) x(t)= X(t)X-1(t0)x0 , (d) x(t)= x0 exp(trA(t-t0))。 (4) 考虑系统dx/dt=f(t,x)关于x(t0)=x0初值问题, 其中(t, x )?R, 即R?Rn中以(t0, x0)为中心的有界闭矩形。该初值问题存在唯一解的条件是___d___ 。 (a) f连续，(b) f连续且对x有界， (c) f连续且对x可微， (d) f连续且对x连续可微。 (5) 在(4)中考虑的初值问题解对初值连续依赖的条件是__c___ 。 (a) f连续，(b) f连续且对x有界， (c) 连续且对x是Lipschitz的，(d) f连续且对x可微。 (6) 设系统dx/dt=f(x)的初值问题具有存在唯一性且满足f(0)=0。系统关于初值x(0)=x0的解记为x (t,x0)。系统零解的渐近稳定性是指其零解稳定并且__d__ 。 (a) 存在x0使x (t, x0) ?0当t?0， (b) 对0附近所有x0有x (t, x0) ?0当t?0， (c) 存在x0使x (t, x0) ?0当t?+?，(d) 对0附近所有x0有x (t, x0) ?0当t?+?. 2、（20分）假设初值问题dx/dt=ax+f(t), x(t0)=x0满足解的存在唯一性条件，其中a为实数，t?R, x?R。(1) 写出这个初值问题解的表达式。(2)用常数变易法证明这个表达式。 [解] (1) x(t)=exp(a(t-t0)x0+ ?t0 t exp(a(t-s) f(s) ds. [10分] (2) 首先，用分离变量法求得dx/dt=ax有通解x(t)=c exp(at)。 设方程有形如x(t)=c(t) exp(at)的解。代入方程得dc/dt= exp(-as) f(s), 从而得到特解x(t)= exp(at) ? exp(-as) f(s) ds和通解 x(t)=exp(at)c+ ? exp(a(t-s) f(s) ds. 通过初始条件可以确定c，并证得(1)的表达式。[10分] 3、（15分）求方程(xy2+4x2y)+(3x2y+4x3)dy/dx=0的通解。 [解] 左式=( xy2dx+3x2y dy)+ (4x2y dx+4x3 dy) [5分] =(x/y) (y3dx+3xy2 dy)+ 4x2 (y dx+x dy) [5分] =(x/y) d(xy3)+ 4x2 d(xy) =(x/y) {d(xy3)+ 4xy d(xy) } =(x/y) d{xy3+ 2(xy)2 }， [4分] 从而得到 xy3+ 2(xy)2=C。 [1分] 4、（15分）计算方程d2x/dt2+x=cos t的通解。进而计算方程关于初值x(0)=1, dx/dt(0)=0的解。 [解] (1) 特征方程为?2+ 1=0, ?=i, -i 。通解为x(t)=C1exp(it)+C2 exp(-it). 实通解为x(t)=C1 cos(t)+C2 sin(t). [5分] (2) 考虑算子形式的复系统 (D2+ 1)z=exp(it). 从而 z(t)= exp(it){1/( (D+i)2+ 1)}1= exp(it)(1/( (D2+2iD))1 = exp(it)(1/( (D+2i))t= exp(it)(1/( (D+2i))t =(1/(2i))(t-1/(2i)) exp(it)=(cos(t)/4+t sin(t)/2)+i(sin(t)/4- t cos(t)/2). 从而，x(t)=Re z(t)= cos(t)/4+t sin(t)/2 . [5分] 通解为x(t)= C1 cos(t)+C2 sin(t)+ cos(t)/4+t sin(t)/2. [1分] (3) 代入初始条件得C1 + 1 /4=1, C2 =0, 即C1 =3/4, C2 =0. 最终解为 x(t)= (3/4) cos(t)+ cos(t)/4+t sin(t)/2= cos(t)+t sin(t)/2. [4分] 5、（20分）方程d2x/dt2+(k/m)x=0描述了线性弹簧振子的自由振动，其中质量m>0,Hook常数k?0。记y表示运动的速度，即y=dx/dt. （1）写出方程的等价一阶微分方程组。 （2）求通解。 （3）分别对k>0和k<0判断奇点（0，0）的定性性质（类型及稳定性），并给出论据。 （4）画相平面轨道的草图。 [解] (1) 等价一阶微分方程组为 dx/dt=y, dy/dt= -(k/m)x. [4分] (2) 特征方程为?2+(k/m)=0，当k<0时特征值为 ?1=(- k/m)1/2，?2= -(- k/m)1/2。 当k>0时特征值为 ?1=( k/m)1/2i，?2= -( k/m)1/2i。 [3分] 因此当k<0时通解为 x(t)=C1exp((- k/m)1/2)+ C2 exp(-(- k/m)1/2), 当k>0时通解为 x(t)= C1cos(( k/m)1/2t)+ C2 sin(( k/m)1/2t). [3分] (3) 当k<0时奇点（0，0）的是鞍点，是不稳定的。 [3分] 当k>0时奇点（0，0）是中心，是稳定的。 [3分] (4) 草图(略) [4分] 注：其他等价做法以及等价结果相应给分。 满卷100分