内容发布更新时间 : 2024/11/17 17:52:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

|+|=|﹣|=令x=

， ， ，y=

，

则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图， 令z=x+y，则y=﹣x+z，

则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为zmin=1+3=3+1=4， 当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大， 由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的也就是圆弧MN所在圆的半径的所以zmax=

×

=

．

．

倍，

倍，

综上所述，|+|+|﹣|的最小值是4，最大值是故答案为：4、

．

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．

16．（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 660 种不同的选法．（用数字作答）

【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可

【解答】解：第一类，先选1女3男，有C63C21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有40×12=480种，

第二类，先选2女2男，有C62C22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有15×12=180种，

根据分类计数原理共有480+180=660种， 故答案为：660

【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题

17．（4分）已知a∈R，函数f（x）=|x+﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是 （﹣∞，] ．

【分析】通过转化可知|x+﹣a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+≤5，进而计算可得结论．

【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5， 又因为|x+﹣a|≤5﹣a， 所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a， 所以2a﹣5≤x+≤5， 又因为1≤x≤4，4≤x+≤5， 所以2a﹣5≤4，解得a≤， 故答案为：（﹣∞，]．

【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．

三、解答题（共5小题，满分74分） 18．（14分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2

sinx cosx（x∈R）．

（Ⅰ）求f（）的值．

（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式， （Ⅰ）代入可得：f（

）的值．

（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间 【解答】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2（2x+

）

）=2sin（2×

+

）=2sin

=2， sinx cosx=﹣

sin2x﹣cos2x=2sin

（Ⅰ）f（

（Ⅱ）∵ω=2，故T=π， 即f（x）的最小正周期为π， 由2x+x∈[﹣

∈[﹣+kπ，﹣

+2kπ，

+2kπ]，k∈Z得：

+kπ]，k∈Z，

+kπ，﹣

+kπ]或写成[kπ+

，kπ+

]，k

故f（x）的单调递增区间为[﹣∈Z．

【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．

19．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点． （Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．

【分析】（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，推导出EF∥PA，CF∥AB，从而平

面EFC∥平面ABP，由此能证明EC∥平面PAB．

（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而BF⊥AD，进而AD⊥平面PBF，由AD∥BC，得BC⊥PB，再求出BC⊥MF，由此能求出sinθ．

【解答】证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF， ∵E为PD的中点，∴EF∥PA，

在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F为中点， ∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP， ∵EC?平面EFC， ∴EC∥平面PAB．

解：（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF， ∵PA=PD，∴PF⊥AD，

推导出四边形BCDF为矩形，∴BF⊥AD， ∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC， ∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB，

设DC=CB=1，由PC=AD=2DC=2CB，得AD=PC=2， ∴PB=

=

=

，

BF=PF=1，∴MF=，

又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF，

∴MF⊥平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，

∵MF=，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，

E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线， ∴E到平面PBC的距离为， 在

由余弦定理得CE=

，

=

．

，

设直线CE与平面PBC所成角为θ，则sinθ=

【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣（1）求f（x）的导函数；

（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围．

【分析】（1）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求； （2）求出f（x）的导数，求得极值点，讨论当＜x＜1时，当1＜x＜时，当x＞时，f（x）的单调性，判断f（x）≥0，计算f（），f（1），f（），即可得到所求取值范围．

【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣导数f′（x）=（1﹣?=（1﹣x+

）e﹣x（x≥），

）e﹣x

）e﹣x（x≥）．

?2）e﹣x﹣（x﹣

）e﹣x=（1﹣x）（1﹣）e﹣x；

）e﹣x，

（2）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣可得f′（x）=0时，x=1或，

当＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减； 当1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增； 当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减， 且x≥

?x2≥2x﹣1?（x﹣1）2≥0，

则f（x）≥0．