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则sin(2???4)?sinxcosy?cosxsiny?2 10三、解答题.

1、（2018年高考北京卷理科）15．（13分）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣． （Ⅰ）求∠A； （Ⅱ）求AC边上的高．

【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角， ∵cosB=﹣，∴sinB=

=

=

，

由正弦定理得则A=

．

=得sinA===，

（Ⅱ）由余弦定理得b=a+c﹣2accosB， 即64=49+c+2×7×c×， 即c+2c﹣15=0， 得（c﹣3）（c+5）=0， 得c=3或c=﹣5（舍）， 则AC边上的高h=csinA=3×

=

．

2

2

2

222

2、（2018年高考北京卷文科）16．（13分）已知函数f（x）=sinx+（Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）若f（x）在区间[﹣

，m]上的最大值为，求m的最小值．

2

sinxcosx．

【解答】解：（I）函数f（x）=sinx+=sin（2x﹣

）+，

=π；

sinxcosx=+sin2x

f（x）的最小正周期为T=（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣可得2x﹣即有2m﹣

∈[﹣≥

，m]上的最大值为，

]， ，

，2m﹣

，解得m≥

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则m的最小值为．

3、（2018年高考天津卷文理科15，文科16）．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值． 【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得又bsinA=acos（B﹣∴asinB=acos（B﹣∴tanB=

，

．

， =

，

，

，由bsinA=acos（B﹣

），得sinA=

，

）．

），即sinB=cos（B﹣

）=cosBcos

+sinBsin

=

cosB+

，

，得bsinA=asinB，

）．

又B∈（0，π），∴B=

（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=由余弦定理得b=∵a＜c，∴cosA=∴sin2A=2sinAcosA=cos2A=2cosA﹣1=，

2

∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．

4、（2018年高考浙江卷）18．（14分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=

，求cosβ的值．

【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）． ∴x=﹣，y=

，r=|OP|=

；

，

∴sin（α+π）=﹣sinα=（Ⅱ）由x=﹣，y=

，r=|OP|=1，

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得，

，

，

又由sin（α+β）=得

=，

， ．

则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=∴cosβ的值为

或

．

5、（2018年高考全国卷1理科17）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5． （1）求cos∠ADB； （2）若DC=2

，求BC．

【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5． ∴由正弦定理得：∴sin∠ADB=

=

=，

，即

=

，

∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A， ∴cos∠ADB=

=

．

，

（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=∵DC=2∴BC==

=5．

，

6、（2019年高考全国I卷理科17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设

(sinB?sinC)2?sin2A?sinBsinC．

（1）求A；

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（2）若2a?b?2c，求sinC．

解：（1）由已知得sinB?sinC?sinA?sinBsinC，故由正弦定理得b?c?a?bc．

222222b2?c2?a21?． 由余弦定理得cosA?2bc2因为0?A?180，所以A?60．

（2）由（1）知B?120?C，由题设及正弦定理得2sinA?sin120??C?2sinC，

??????即

6312?cosC?sinC?2sinC，可得cos?C?60????． 2222???由于0?C?120，所以sinC?60???2，故 2sinC?sin?C?60??60??

?sin?C?60??cos60??cos?C?60??sin60? ?6?2． 47、（2019年高考全国I卷文科20）已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f ′（x）为f（x）的导数．

（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 解：

（1）设g(x)?f?(x)，则g(x)?cosx?xsinx?1,g?(x)?xcosx.

当x?(0,)时，g?(x)?0；当x??单调递减. 又g(0)?0,g?π2π?π??π?,π?时，g?(x)?0，所以g(x)在(0,)单调递增，在?,π?2?2??2??π???0,g(π)??2，故g(x)在(0,π)存在唯一零点. ?2?所以f?(x)在(0,π)存在唯一零点.

（2）由题设知f(π)…aπ,f(π)?0，可得a≤0.

由（1）知，f?(x)在(0,π)只有一个零点，设为x0，且当x??0,x0?时，f?(x)?0；当x??x0,π?时，

2018-2019年高考数学试题分类汇编三角函数 第19页 共23页

f?(x)?0，所以f(x)在?0,x0?单调递增，在?x0,π?单调递减.

又f(0)?0,f(π)?0，所以，当x?[0,π]时，f(x)…0. 又当a?0,x?[0,π]时，ax≤0，故f(x)…ax. 因此，a的取值范围是(??,0].

8、（2019年高考全国III卷文理科18）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知asin（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围． 解：（1）由题设及正弦定理得sinAsinA?C?bsinA． 2A?C?sinBsinA． 2因为sinA?0，所以sinA?C?sinB． 2A?CBBBB?cos，故cos?2sincos． 22222由A?B?C?180，可得sin?因为cosBB1?0，故sin?，因此B=60°． 2223a． 4（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC??csinAsin?120?C?31由正弦定理得a????．

sinCsinC2tanC2由于△ABC为锐角三角形，故0°

133?a?2，从而?S△ABC?．

822因此，△ABC面积的取值范围是??33??8,2??． ??中，a=3，b-c=2 ，cosB??9、（2019年高考北京卷理科15）在（Ⅰ）求b,c的值； （Ⅱ）求sin(B-C) 的值。

1 ． 2a2?c2?b21解析：（I）cosB???，

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