内容发布更新时间 : 2024/11/8 14:12:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1） 证明：左边=n*(n-1)??（n-r+1） 右边= n*(n-1)??（n-r+1） 所以 左边=右边 同理：（2）（3）（4）得证。 5

）

证

明

：

利

用

（

4

）

，

prn?1??prn?1 rnrp?1nn?1?1n=(prn?1?rprn??r(prn?1)?rpr?1?pr1?pr?1)???=等式右边

1．18 8个盒子排成一列，5个有标志的球放到盒子中，每个盒子最多放一个球，要

求空盒子不相邻，问有多少种排列方案。

解： P( 5 , 5 )*C( 6 , 3)=2400（种）

答：共有2400种方案。

1.19．n + m 位由m个0，n个1组成的符号串，其中n?m+1，试问不存在两个1相邻的符号串的数目。

解：该题可以看作是往m个0里插入n 个1，即从m+1个空中选取n个空

放1，这样就使得不存在两个1相邻，总的解决方案数为：C(m?1,n)

1.20 甲单位有10个男同志，4个女同志，乙单位有15个男同志，10个女同志，

由他们产生一个7人的代表团，要求其中甲单位占4人，而且7人中男同志5位，试问有多少种方案？

解： 根据题意，符合要求的组合法有3种：（1）甲单位4男0女，乙单位1

男2女；（2）甲单位3男1女，乙单位2男1女；（3）甲单位2男2

4012女，乙单位3男0女。则对应的组合数为：（1）C10C4C15C10?141750，31212230（2）C10C4C15C10?504000， （3）C10C4C15C10?122850。

因此，符合条件的方案数共有：141750+504000+122850=768600种。

1.21 一个盒子里有7个无区别的白球，5个无区别的黑球。每次从中随机取走一球，已知前面取走6个，其中3个是白的。试问第6个球是白球的概率？

解：设6个球的编号分别为1、2??6。6个球中第6个球是白球的所有可能方案为：126、136、146、156、236、246、256、346、356、456，既有10种可能。那么第6个球是白球的概率为10/C（6，3）=1/2。

1.22 求图1-22中从0到P的路径数。 （1）路径必须经过A点 （2）路径必须过道路AB

（3）路径必须过A点和C点

（4）道路AB封锁（但A,B两点开放）

35解题：（1）C3?C?25?3?560 34 （2）C3?2?C4?3?350 312 （3）C3?2?C3?1?C2?2?240 534 （4）C5?8?C3?2?C4?3?937

1.23 令s?{1,2,.......,n?1},n?2,T?{(x,y,z)|x,y,z?s,x?z,y?z}，试证：

?n?1??n?1?T??k????3??

23k?1????n2解题：（1）：因为x,y的最小值为1，所以z?(2,3,4,........n) 当z=2时：x=y=1,

11 当z=3时：x,y各有两种选择C2C2

………

11 当z=n+1时：x,y各有两种选择CnCn

n即：T??k2

k?1 （2）：因为x,y,z?s且x?z,y?z。当x=y时，从(1,2,......n?1)取两

2个数，大的给z，小的给x,y,有Cn当x?y时，(1,2,......n?1)取三个数，?1。

?n?1??n?1?大的给z，小的给x或y，有2C，即：T??k2????3??

23k?1????3n?1n

1.24 A={(a,b)|a,b?Z,0?a?9,0?b?5}

(1) 求x-y平面上以A作顶点的长方行数目； (2) 求x-y平面上以A作顶点的正方形数目； 如图所示

5 4 3 2 1 解：思想是分别以纵坐标0、1、2、3、4为起点，横坐标和纵坐标一起够成的长方形

即：4*C（9，1）+4*C（9，2）+4*C（9，3）+4*C（9，4）+4*C（9，5）+5*C（9，6）+5*C（9，7）+5*C（9，8）+5 + 3*C（9，1）+3*C（9，2）+3*C（9，3）+3*C（9，4）+4*C（9，5）+4*C（9，6）+4*C（9，7）+4*C（9，8）+4 + 2*C（9，1）+2*C（9，2）+2*C（9，3）+3*C（9，4）+3*C（9，5）+3*C（9，6）+3*C（9，7）+3*C（9，8）+3

+ C（9，1）+C（9，2）+C（9，3）+C（9，4）+C（9，5）+C（9，6）+C（9，7）+C（9，8）+1=13374

即以A作顶点的长方形数目为13374个。 同理以A作顶点的正方形数目为：

C（9，1）+C（9，2）+C（9，3）+C（9，4）+C（9，5）+ C（9，1）+C（9，2）+C（9，3）+C（9，4）+ C（9，1）+C（9，2）+C（9，3）+ C（9，1）+C（9，2）+ C（9，1）=1071

即以A作顶点的正方形数目为1071个。

1.25 平面上有15个点，P1，P2，?，P15，其中P1，P2，P3，P4，P5共线，此外

不存在3点共线的。

（a）求至少过15个点中两点的直线的数目； （b）求由15个点中3点组成的三角形的数目。 解：（a）根据题意，符合条件的直线有三种可能：（1）P1，P2，P3，P4，P5构

2成的直线，有1条；（2）P6~P15中的任选两点构成的直线，有C10?450 1 2 3 4 5 6 7 8 9 条；（3）由P1~P5中的一个点及P6~P15中的一个点构成的直线，有

11C5C10?50条。因此，符合要求的直线共有1+45+50=96条。

（b）根据题意，符合条件的三角形有三种可能：（1）P1~P5中任选两个点

21及P6~P15中任选一个点构成三角形：有C5（2）P1~P5中C10?100个；12任选一个点及P6~P15中任选两个点构成三角形：有C5（3）C10?225个；

3P6~P15中任选三个点构成三角形：有C10?120个。因此，共可组成三

角形100+225+120=445个。

1.26．S?{1,2,...,1000},a,b?S,使ab?0mod5,求数偶{a,b}的数目。

解：由题知ab?0mod5，说明a*b能被5整除。则分为两种情况： ① a ,b 同时为5的倍数

1000中5的倍数有200个 方案数为：200*199/2

② a ,b 不同时为5的倍数，即a ,b中有一个不是5的倍数 方案数为：800*200 总的

总的方案数为：200*199/2+800*200

1．27 6位男宾，5位女宾围一圆桌而坐，

（1） 女宾不相邻有多少种方案。 （2） 所有女宾在一起有多少种方案。

（3） 一女宾A和两位男宾相邻又有多少种方案。 解：（1）5！*P( 6 , 5 )=120*720 =86400 答：女宾不相邻有86400种方案。 （2）6！*5！=86400

答：所有女宾在一起有86400种方案

（3）8！*2*C（6 ，2）=40320*2*3*5=1209600

答：一女宾A和两位男宾相邻又有1209600种方案。

1.28 k和n都是正整数，kn位来宾围着k张圆桌而坐，试求方案数。 解; 方案数为：

[C(nk,n)*(n-1)!]*[ C(n(k-1),n)*(n-1)!] *[ C(n(k-2),n)*(n-1)!]*??*[ C(n,n)*(n-1)!] 整理得：(n-1)!k * C(nk,n)* C(n(k-1),n)*??*C(n,n)= (n-1)!k *(nk)!/ (n!) k=(nk)!/ n k

1.29 从n个对象中取r个作圆周排列，求其方案数？

解：C?n,r???r?1?！

1.30试证下列等式

?n?n?n?1?(1) ?????, 1?r?n?r?r?r?1??n?n?r?1? n? (2) ?????, 1?r?n

rr?1r?????n?n?n?1?(3) ?????, 1?r?nr rn?r????证明：（1）

n!r!(n?r)!n(n?1)!n!右边???

r(r?1)!(n?r)!r!(n?r)!左边??n?n?n?1?所以 ?????, 1?r?nrr?1r???? （2）

n!左边?r!(n?r)!n?r?1n!n!右边???

r(r?1)!(n?r?1)!r!(n?r)!?n?n?r?1? n?所以 ?????, 1?r?nrr?1r???? （3）

n!左边?r!(n?r)!n(n?1)!n!右边???n?rr!(n?1?r)!r!(n?r)!?n?n?n?1?所以 ?????, 1?r?n?r?n?r? r?1.31 试证明任意r个相临数的连乘：

(n?1)(n?2)...(n?r)

被r！除尽

?n?r? 解： 显而易见，??是一个整数，由

?r?

?n?r?(n?r)!(n?r)!(n?1)(n?2)...(n?r)??= ??rr!n?r?r!r!n!r!????

?n?r?(n?1)(n?2)...(n?r) 由于?是整数，所以是整数，那么 ?r!?r?

(n?1)(n?2)...(n?r)可以被r！除尽

1.32： 在 a,b,c,d,e,f,x,x,x,y,y 的排列中，要求y必须夹在两个X之间，问这样