内容发布更新时间 : 2024/5/2 7:17:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

解：

（1）相当于从n个不同的小球中分别取出m个小球（0?m?n），再从n个不同小球中取出n-m个小球。则共有方案数：C(n,0)?C(n,1)?????C(n,n)?2n

（2）相当于从2n+1个不同的小球中分别取出个小球（0?m?n），再从n

n个不同小球中取出n-m个小球。则共有方案数：?C(2n?1,m)

m?0

1.46（1）证明：利用归纳法，当n=1时，0出现偶数次的实例是{1,2}，其中0

出现0次，而当n＝1时，3n＋1/2=2，是正确的。

假设当n＝k时是正确的，即0出现 3k＋1/2 次，计算0出现

奇数次的方案，因为总方案数为3k，?0出现奇数次的方案为3k－3k＋1/2＝3k－1/2.

当n＝k＋1时，0出现偶数次的方案数是前k为出现偶数次，第k＋1位是1或2，或是前k位出现奇数个0，最后一位是0.

总方案数为2×（3k＋1）/2＋3k－1/2＝3k?1＋1/2,正是所要证明的形式，所以0出现偶数次的字符串有3n＋1/2个。

n （2）证明：等式左边第一项表示n位中有0个0，用?0?表示，那么这n位

n只能取1或2，有2n种可能，所以方案为?0?×2n，最后一项为

当n中有最大偶数个0出现时的方案数，所以左边整体表示为n位字符串中0出现偶数次的方案数，右边也是0出现偶数次的方案数，左边＝右边，即证。

1.47 5台教学机器m个学生使用，使用第1台和第2台的人数相等，有多少种分配方案？ 解：

当使用第1台机器的学生为n个时，使用第2台机器的学生也为n,从m个学生中选出2n个使用这两台机器，剩余的学生可以任意使用剩下的机器的组合数为C(m,2n)C(2n,n)3(m-2n)。

所以总的方案数为?C(m,2n)C(2n,n)3(m?2n).

x?0m/2

1.48 在由n个0及n个1构成的字符串中，任意前k个字符中，0的个数不少于1的个数的字符串有多少？ 解：转化为格路问题,即从(0,0)到(n,n),只能从对角线上方走,可以碰到对角线,故方案

C(2n,n)-C(2n,n-1).

1.49 在1到n的自然数中选取不同且互不相邻的k个数，有多少种方案？ 解：根据不相邻组合的公式，共有C(n-k+1)种方案k。

1.50

(a)在5个0，4个1组成的字符串中，出现01或10的总次数为4的，有多少个? (b)在m个0，n个1组成的字符串中,出现01或10的总次数为k的，有多少个？ 解：(a)先将5个0排成一列：00000，1若插在两个0中间，“010”，则出现2个“01”或“10”;若插在两端，则出现1个“01”或“10”;要使出现“01”,“10”总次数为4，有两种办法：

(1)把两个1插入0得空当内，剩下的1插入1的前面。

(2)把1个1插入0得空当内，再取两个1分别插入两端，剩下的1插入1的前面。

故总方案数为C(4,2)·3+C(4,1)·3=30 (b)m个0产生m-1个空当，

若k为奇数,则必有且只有1个“1”插入头或尾,总方案数为

k?1k?12C(m?1,)C(n?1,n?)

22kkk?2k?2)C(n?1,n?) 若k为偶数,总方案数为C(m?1,)C(n?1,n?)?C(m?1,2222第一问，出现4个01或10，说明5个0被分成了3段，四个1被分成了两段，然后夹在一起形如001101100；或者5个0被分成了2段，四个1被分成了3段，然后夹在一起形如100100011。于是题目的考虑就变成了5个0如何拆分，4个1如何拆分。 答案是：

C(4,2)*C(3,1)+C(4,1)*C(3,2) 1.51 从N??1,2,...20?中选出3个数，使得没有两个数相邻，问有多少中方案？

?n?r?1??20?3?1??18???解：??3?=??r?=??3??种 ??????

1.52 从S={1,2,…,n}中选k个数,使之没有两数相邻,求不同方案数.

?n?k?1?解: ??

k??

1.53 把n个无区别的球放进有标志1，2，3，????n的盒子里，每个盒子里可以放多余一个球，求有多少中方案。 答案：

相当于在n个不同的元素中取r个作允许重复的的组合，其组合数为c(n-k+1,r)

1．54 m个1，n个0进行排列，求1不相邻的排列数。设n>m

解： n个0进行排列，留出n+1个空档，任选m个空档放1，共有C(n+1,m)种方案。

第

1.55 偶数位的对称，即从左向右的读法与从右向左的读法相同，如3223。试证这样的数可被11整除。 证明：

对称数ABBA可以写成 A*103+B*102+B*10+A*100，且11MOD10=-1MOD11,用-1代替10

恰好方次是奇偶对应的。使原式相加等于0。

1—56 n个男人与n个女人沿一圆桌坐下,问两个女人之间坐一个男人的方案数,又m个女人n个男人,且m

解: ① n 个女人先沿圆桌坐下,这时正好有n个空. 即 (P(n,n)/n)n!=(n!n!)/n

② n个男人沿圆桌坐下,方案数为本P(n,n)/n=n!/n

女人往男人中的n个空插入为p (n,m).所以方案数为(p (n,,m)n!)/n

1.57：n个人分别沿着两张圆桌坐下，一张r个人，另一张n-r个人，试问有多少种不同的方案？ 解：按照本题的要求，先从n中选r个人进行圆排列的方案是C（n，r）×(r-1)!。剩下（n-r）个人再进行圆排列（n-r-1）！。根据乘法原理一共有C（n，r）×（r-1）!×（n-r-1）！。

1.58 一圆周上n个点标以1，2，…，n.每个点与其他n-1个点连以直线，试问这些直线交于圆内多少点？ 解：

x1xn x1xn xi

图a

图b

如题意可知，每个点i和其他n-1个点相连，可以引出n-1条直线，那么我

们首先求圆内的交点在与点1相连的直线上的个数。 如图a，对于任意一条直线（1，i），这条直线上与其他直线的交点数，必然等于（1，i）的左边点与（1，i）的右边点相连的边的总条数，总共有

?i?2??n?i?????? ?1??1??i?2??n?i??????? i?3?1??1?n?1 条边，也就有这么多个交点

所以对于点1引出的所有边，边上的交点数总和为

与点1相连的直线上的交点个数都求出来了，就可以先把点1去掉，如图b，

计算剩下的n-1个点的直线的交点个数。 所以n个点一共是：

?i?2??m?i???????? m?4i?3?1??1?nm?1nm?1?i?2??m?i?那么这些直线交于圆内???????个交点

m?4i?3?1??1?1.59 n和k都是正整数，设平面有n个点，其中每一点都存在k个点与之距离

相等。试证k满足

证明：当k=1时成立，101001000100001?1代表点，0代表单位距离

当k=i成立，1..101..1001..10001..100001..100000.. ,1..1表示有i个1

当k=i+1时，1?101?1001?10001?100001?100000?,同样也成立1?1表示有i+1个1