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2019年高中数学单元测试卷

导数及其应用

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________

一、选择题

1．已知直线y=x+1与曲线y?ln(x?a)相切，则α的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 （2009全国卷Ⅰ理）

2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y?(1?x)f'(x)的图像如题

,（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) （B）函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(1) （C）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(?2) （D）函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(2)

3．设曲线y?

二、填空题

4． 对于三次函数f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)，给出定义：

x?12)处的切线与直线ax?y?1?0垂直，则a?________ 在点(3，x?1设f'(x)是函数y?f(x)的导数，f''(x)是函数f'(x)的导数，若方程f??(x)?0有实数解

x0,则称点(x0,f(x0))为函数y?f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次

函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数

f(x)?13125123x?x?3x?，则f()?f()?f()?3212201320132013?f(2012)= 2013__ .2012

5．函数f?x??x3?ax2?bx?c?a,b,c?R?在区间??1,0?上是单调减函数，则a?b22的最小值为 ▲

π36．（文科做）曲线y?cosx在点（,）处的切线的斜率为 ▲ ．

622?17．已知M?{x|lgx?0},N?{x|2?2x?1?22,x?Z},则MN= ．

8．若曲线f?x??ax?Inx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 . 2解析

9．函数f(x)?()12x2?x?3的单调减区间为 (,??) ．

/1210． 已知函数f(x)的导数f(x)?a(x?2)(x?a),且f(a)是其极大值,则实数a的取值范围是___________.

11．在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .

12．已知函数f?x??alnx?bx图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为

23y??3x?2ln2?2，

则a?b?______3_____ . 13．给出下列图象

y y y y O ① x ② O x O ③x O ④ x

其中可能为函数f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋d(a，b，c，d∈R)的图象的是_____．

三、解答题

a

14．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.

3(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式； (2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围． [解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用． a

由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c

3∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.

(1)当a＝3时，由(*)式得解得b＝－3，c＝12.

又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0. 故f(x)＝x3－3x2＋12x.

，

a

(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x)＝

3ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立” 由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a. 又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)

解

即a的取值范围[1,9]．

得a∈[1,9]，

15．某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区。已知AB?BC，OA//BC，且AB?BC?2AO?4km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段。如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km）

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