内容发布更新时间 : 2025/3/13 10:05:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
3.3 计算导数
[A.基础达标]
1．下列运算正确的是( ) A．(x)′＝xln 5 C．(π)′＝5π
5
4
5
4
5
5
1
B．(lg x)′＝ xD．(log2x)′＝
1 xln 2
1lg e
＝，不正确；对xln 10x解析：选D.对A，(x)′＝5x，不正确；对B，(lg x)′＝C，(π)′＝0，不正确；对D，(log2x)′＝
5
1
，正确． xln 2
a2．已知f(x)＝x，若f′(－1)＝－4，则a的值等于( ) A．4 B．－4 C．5 D．－5
aa－1
解析：选A.由f(x)＝x，可得f′(x)＝ax，
a－1
所以f′(－1)＝a(－1)＝－4，所以a＝4. 3．已知f(x)＝ln x，则f(1)＋f′(1)＝( ) A．1 B．－2 C．0 D．2
1
解析：选A.f(1)＝ln 1＝0，f′(x)＝，f′(1)＝1，
x所以f(1)＋f′(1)＝0＋1＝1.
23
4．如果函数f(x)＝x，g(x)＝x，f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝( ) 1＋71－7A. B.
33C.
1±7
3
D．不存在
2
1±7
，所以选C. 3
5．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )
x3
A．f(x)＝e B．f(x)＝x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
解析：选D.若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1， 解析：选C.f′(x)－g′(x)＝2x－3x＝－2，所以x＝
1xx32
因为A项中，(e)′＝e＞0，B项中，(x)′＝3x≥0，C项中，x＞0，即(ln x)′＝＞x0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.
6．若f(x)＝tan x，f′(x0)＝1，则x0的值为________．
1
解析：因为f′(x)＝(tan x)′＝2，f′(x0)＝1，
cosx所以cos x0＝±1，所以x0＝kπ，k∈Z. 答案：kπ，k∈Z
x7．若指数函数f(x)＝a(x＞0，a≠1)满足f′(1)＝ln 27，则f′(－1)＝________.
ln 3－1
解析：f′(x)＝axln a，f′(1)＝aln a＝3ln 3，所以a＝3，故f′(－1)＝3ln 3＝.
3
1
ln 3答案： 3
8．设余弦曲线y＝cos x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是________．
解析：kl＝(cos x)′＝－sin x∈[－1，1]，又倾斜角范围是[0，π)，所以直线l的
π3π
倾斜角范围是[0，]∪[，π)．
44π3π
答案：[0，]∪[，π)
441
9．求曲线y＝与抛物线y＝x的交点坐标，并分别求在交点处的两曲线的切线的斜率．
x1??y＝x13解：由?，得＝x，所以x＝1，
x??y＝x所以x＝1，y＝1，所以两曲线的交点坐标为(1，1)． 1－1－2
由y＝，得y′＝(x)′＝－x，
x所以该曲线在点(1，1)处的切线的斜率k1＝－1.
1
11
又由y＝x，得y′＝(x2)′＝x－，
22
1
所以该曲线在点(1，1)处的切线的斜率k2＝.
2
432
10．已知函数f(x)＝x＋ax－a，试求常数a的值，使f′(x)＝0且f(x)＝0.
3
f（x＋Δx）－f（x）
解：f′(x)＝Δlim x→0Δx?（x＋Δx）3＋a（x＋Δx）2－4a－?x3＋ax2－4a??
???3??3???
＝Δlim x→0Δx22323xΔx＋3x（Δx）＋（Δx）＋2ax（Δx）＋a（Δx）＝Δlim x→0Δx22
＝Δlim (3x＋2ax＋3x(Δx)＋(Δx)＋a(Δx)) x→0＝3x＋2ax.
2令f′(x)＝0，得x＝0或－a.
3
由题设知：当x＝0时， f(0)＝0，
4
所以－a＝0，所以a＝0；
32?2?当x＝－a时， f?－a?＝0， 3?3?2?3?2?24?所以?－a?＋a?－a?－a＝0， ?3??3?342
所以a(a－9)＝0，所以a＝0或a＝±3.
27
故当a＝0或±3时，f′(x)＝0且f(x)＝0.
[B.能力提升]
n＋1
1．设曲线f(x)＝x(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn等于( )
2
2
1
A.
nB.
1 n＋1
C.
nn＋1
nD．1
解析：选B.因为f′(x)＝(n＋1)x，所以f′(1)＝n＋1，过(1，1)的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
nn123n1
令y＝0得x＝，即xn＝，故x1·x2·…·xn＝×××…×＝. n＋1n＋1234n＋1n＋1
2
2．已知函数f(x)＝x的图像在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是( )
?3?A.?－，3? B．(0，－4) ?2?
1??C．(2，3) D.?1，－? 4??
22
解析：选D.由题意知，A(x1，x1)，B(x2，x2)，f′(x)＝2x， 则在A，B两点处的切线斜率k1＝2x1，k2＝2x2. 又因为两切线互相垂直，
1
所以k1k2＝－1，即x1x2＝－.
4
22
两条切线方程分别为l1：y＝2x1x－x1，l2：y＝2x2x－x2， 联立得(x1－x2)[2x－(x1＋x2)]＝0.
x1＋x2
因为x1≠x2，所以x＝，代入l1，
2
1
解得y＝x1x2＝－，故选D.
4－x3．若曲线y＝e上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
1?1??1?－x解析：设点P的坐标为(x0，y0)，y′＝??＝??ln ＝－e.
e?e??e?
所以在P点处的切线斜率为－e，由题意－e＝－2，即e＝2，x0＝－ln 2，y0＝e
－x0ln 2
＝e＝2，故点P的坐标为(－ln 2，2)． 答案：(－ln 2，2)
?ln x，x>0，?
4．设函数f(x)＝?D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1，0)处
?－2x－1，x≤0，?
的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为________．
解析：f(x)在(1，0)处的切线方程为y＝x－1，如图，可行域为阴影部分，易求出目标函数z＝x－2y的最优解(0，－1)，即z的最大值为2.
答案：2
5．求证双曲线xy＝1上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．
11
证明：由xy＝1，得y＝，所以y′＝－2.
－x0
－x0
－x0
xxxx1??在双曲线xy＝1上任取一点P?x0，?， x?
0
?
1
则在点P处的切线斜率k＝－2. x0
1112
切线方程为y－＝－2(x－x0)，即y＝－2x＋.
x0x0x0x0
设该切线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，
3