内容发布更新时间 : 2024/12/23 3:31:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

22．数列{an}满足：a1=2，当n∈N*，n＞1时，a2+a3+…+an=4（an﹣1﹣1）． （Ⅰ）求a2，a3，并证明，数列{an+1﹣2an}为常数列；

（Ⅱ）设cn=实数a的取值范围．

，若对任意n∈N*，2a＜c1+c2+…+cn＜10a恒成立，求

【考点】8K：数列与不等式的综合．

【分析】（Ⅰ）根据题意，分别令n=2，3求出a2，a3，并猜想即学归纳法证明，即可证明数列{an+1﹣2an}为常数列，

，并用数

（Ⅱ）利用放缩法可得

≤c1+c2+…+cn＜，即可求出a的范围

【解答】解：（Ⅰ）∵数列{an}满足：a1=2，当n∈N*，n＞1时，a2+a3+…+an=4（an

﹣1

﹣1），

∴a2=4（a1﹣1）=4（2﹣1）=4，

a2+a3=4（a2﹣1），即4+a3=4（4﹣1）=12，解得a3=8． 由此猜想{an}是首项为2，公比为2的等比数列，即用数学归纳法证明：

，

①当n=1时，a1=2，成立．

②假设当n=k时，等式成立，即a2+a3+…+ak=4（ak﹣1﹣1）， ∴22+23+…+2k=4（2k﹣1﹣1）， 当n=k+1时，a2+a3+…+ak+ak+1 =4（2k﹣1﹣1）+2k+1 =2k+1﹣4+2k+1

=4（2k﹣1）=4（ak﹣1），成立， 由①②，得

，

∴an+1﹣2an=2n+1﹣2?2n=0， ∴数列{an+1﹣2an}为常数列．

（Ⅱ）∵cn==，

当n=1时，c1=，cn=≤，

∴c1+c2+…+cn＜+++…+=+=+（1﹣）＜+

=，

∴

=c1＜c1+c2+…+cn＜，

∵对任意n∈N*，2a＜c1+c2+…+cn＜10a恒成立，

∴，

解得≤a＜，

故实数a的取值范围为[，）．

2017年6月18日