内容发布更新时间 : 2024/11/15 4:29:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第三章 导数及其应用

一、变化率与导数

1、定义：设y?f?x?在x?x0处取得一个增量?x??x?0?.?y为从x0到x0??x?x的平均变化率.若当时?x?0时，有极限存在，函数值也得到一个增量?y,称则称此极限值为函数y在x?x0处的瞬时变化率，记为limf?x0??x??f?x0??y?lim，也称为函?x?0?x?x?0?xf?x0??x??f?x0?.?x数y在x?x0处的导数，记作f＇?x0?或y＇x?x0,即f＇?x0??lim

?x?0

说明：导数即为函数y?f?x?在x?x0处的瞬时变化率.

2、几何意义:?x?0时，Q沿f?x?图像无限趋近于点P时，切线PT的斜率.即f＇?x0??kPT.

3、导函数（简称为导数）y?f＇?x?称为导函数，记作y＇，即f＇?x?=y＇=limf?x??x??f?x??y?lim.?x?0?x?x?0?x

二、常见函数的导数公式

1若f(x)?c(c为常数)，则f?(x)?0； 2 若f(x)?x,则f?(x)??x???1;

3 若f(x)?sinx,则f?(x)?cosx 4 若f(x)?cosx,则f?(x)??sinx; 5 若f(x)?a,则f?(x)?alna 6 若f(x)?e,则f?(x)?e

xxxx1 xlna18 若f(x)?lnx,则f?(x)?

xx7 若f(x)?loga,则f?(x)?三、导数的运算法则

1. [f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)

2. [f(x)?g(x)]??f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x) 3. [f(x)f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x)]??g(x)[g(x)]2

四、复合函数求导

y?f(u)和u?g(x),称则y可以表示成为x的函数,即y?f(g(x))为一个复合函数，则 y??f?(g(x))?g?(x)

五、导数在研究函数中的应用

1.函数的单调性与导数:

（1）在某个区间(a,b)内，如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间单调递增； 如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间单调递减.

说明：①若f?x?在定义域区间上不是单调的，则常常用f＇?x?=0的点划分f?x?的单调区间.②若f＇?x?在某个区间恒有f＇?x??0，则f?x?是常函数；若f＇?x?在某个区间内只有有限个点使f＇?x??0，其余恒有f＇?x??0,则f?x?仍为增函数.例如：f?x??x3在R上有f＇?0??0，其余恒有f＇?x??0,，f?x??x3仍为R上的增函数，其函数图像为：

（2）求单调区间的步骤：①求f?x?的定义域；②求导f＇?x?；③令f＇?x??0，解集在定义域内的部分为增区间.④令f＇?x??0，解集在定义域内的部分为减区间.

说明：当函数有多个递增区间或递减区间时，不能用“”、“或”相连，应该用“，”隔开或用“和”.

（3）一种常见的题型：已知函数的单调性求参数的取值范围，利用“若f?x?单调递增，则f＇?x??0；若f?x?单调递减，则f＇?x??0?来求解，注意等号不能省略，否则可能漏解！

2.函数的极值与导数 （1）极大、极小值得定义：

①若对x0附近的所有的点，都有f?x??f?x0?且f?x0?=0，则称f?x0?是函数f?x?的一个极 大值.称x0是极大值点.

②若对x0附近的所有的点，都有f?x??f?x0?且f?x0?=0，则称f?x0?是函数f?x?的一个极 小值.称x0是极小值点.

说明：极大值与极小值统称为极值，极大值与极小值点统称为极值点，极值点是实数而不是点.

（2）求函数的极值的步骤：

①确定定义区间，求导f＇?x?；②求方程f＇?x?=0的解x0；③检查x0左右两边f＇?x?的符号：I、如果在x0附近的左侧f＇?x??0,右侧f＇?x??0,那么f?x0?是极大值;II、如果在x0附近的左侧f＇?x??0,右侧f＇?x??0,那么f?x0?是极小值;III、如果在x0左右两侧导函数不改变符号，那么f?x?在x0处无极值.

说明：在解答过程中通常用列表：