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第六篇 平面向量与复数

专题6.02 平面向量基本定理及坐标表示

【考试要求】

1.了解平面向量的基本定理及其意义； 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【知识梳理】 1.平面向量的基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

2

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y1.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

→→

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2. 4.平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0. 【微点提醒】

1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2. 2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )

1

(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )

(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) x1y1

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.( )

x2y2【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× 【解析】

(1)共线向量不可以作为基底.

(2)同一向量在不同基底下的表示不相同. x1y1

(4)若b＝(0，0)，则＝无意义.

x2y2【教材衍化】

2.(必修4P118A2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7) C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10) 13，－? D.e1＝(2，－3)，e2＝?4??2【答案】 B

【解析】 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.

3.(必修4P99例8改编)设P是线段P1P2上的一点，若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为( ) A.(2，2)

B.(3，－1) D.(2，2)或(3，1)

C.(2，2)或(3，－1) 【答案】 A

→1→→

【解析】 由题意得P1P＝P1P2且P1P2＝(3，－3).

3设P(x，y)，则(x－1，y－3)＝(1，－1)， ∴x＝2，y＝2，则点P(2，2). 【真题体验】

→→

4.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝( ) A.(－7，－4) C.(－1，4) 【答案】 A

2

B.(7，4) D.(1，4)

→→→→

【解析】 根据题意得AB＝(3，1)，∴BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A. 5.(2017·山东卷)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________. 【答案】 －3

【解析】 ∵a∥b，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3.

6.(2019·苏州月考)已知?ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________. 【答案】 (1，5)

???4＝5－x，?x＝1，→→

【解析】 设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即?解得?

???1＝6－y，?y＝5.

【考点聚焦】

考点一 平面向量基本定理及其应用

【例1】 (1)(2019·衡水中学调研)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其5→→→→→→→

对角线AC于点M，若AB＝2AE，AD＝3AF，AM＝λAB－μAC(λ，μ∈R)，则μ－λ＝( )

21A.－

2

B.1

3C. 2

D.－3

→1→1→

(2)(2019·北京海淀区调研)在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且AD＝AB＋AC.延长AD交BC于

32→→→

E，若AE＝λAB＋μAC，则λ－μ的值是________. 1

【答案】 (1)A (2)－

5

→→→→→→

【解析】 (1)AM＝λAB－μAC＝λAB－μ(AB＋AD) →→→→

＝(λ－μ)AB－μAD＝2(λ－μ)AE－3μAF.

因为E，M，F三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1， 51

即2λ－5μ＝1，∴μ－λ＝－. 22→→→1→1→

(2)设AE＝xAD，∵AD＝AB＋AC，

32→x→x→

∴AE＝AB＋AC.

32

xx6

由于E，B，C三点共线，∴＋＝1，x＝. 325xx

根据平面向量基本定理，得λ＝，μ＝. 32

3