内容发布更新时间 : 2024/5/13 15:25:59星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

导数(3)导数在实际生活中的应用

专题 导数在实际生活中的应用

一、目标要求：

1、了解什么是最优化问题及最优化问题的类型（经营利润最大、生产效率最高、用力最省、用料最少、消耗最省等）；

2、了解解决最优化问题的常用方法：判别式法、均值不等式法、线性规划法、二次函数、导数法等）； 3、掌握利用导数解决生活中最优化问题的一般步骤：（1）建立数学模型，写出函数解析式y?f?x?，并确定定义域；（2）求出函数的导函数f'?x?，找出f'?x??0的点，即极值的可能点；（3）比较函数y?f?x?区间端点和极值可能点的函数值的大小，写出最大（小）值；（4）根据实际问题的意义写出答案；

二、例题讲解：

例题1、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某栋建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C?x??k?0?x?10?，若不建隔热层，每年3x?5能源消耗为8万元，设f?x?为隔热层建造费用与20年的能源消耗之和； （1）求k的值及f?x?的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用f?x?到达最小，并求最小值；

例题2、如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝片上截取一块矩形材料ABCD，其中点A,B在直径上，点C,D在圆周上，若将所截得的矩形铝片ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计裁剪和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积；

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导数(3)导数在实际生活中的应用

例题3、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量yL关于行驶速度xkm/h的解析式可以表示为：y?13x3?x?8?0?x?120?，已知甲、乙两地相距100km；

12800080（1）当汽车以40km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的油耗最少？最少为多少升？

例题4、两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的AB上选择一点C建造垃圾处理厂，对其城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对县城A和县城B的总影响度为县城A和县城B影响度之和，记C点到县城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对县城A和县城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对县城A的影响度与所选地点到县城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对县城B的影响度与所选地点到县城B的距离平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在AB的中点时，对县城A和县城B总影响度为0.065； （1）将y表示成x的函数；

（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对县城A和县城B的总影响度最小？若存在，求出该点到县城A的距离，若不存在，说明理由。

例题5、某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元?3?a?5?的管理费，预计当每件产品的售价为x元?9?x?11?时，一年的销售量为?12?x?万件， （1）求分公司一年的利润L万元与每件产品的售价x的函数关系；

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q?a?；

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导数(3)导数在实际生活中的应用

三、巩固练习：

1、某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为2?假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程费用为y万元， （1）试写出y关于x的函数关系式；

（2）当m?640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

2、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式：y??xx万元，

?a2?10?x?6?，其中3?x?6,a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可x?3售出该商品11千克， （1）求a的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得利润最大；

3、如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，AB?3m,AD?2m；

（1）要使矩形AMPN的面积大于32m，则AN的长应在什么范围内？

（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN面积最小？并求出最小面积；（3）若AN的长度不小于6m，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN面积最小？并求出最小面积；

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