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普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

高三新数学第一轮复习教案（讲座20）—随机事件的概率与古典概

型

一．课标要求：

1．在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别；

2．通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式；

3．通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

二．命题走向

本讲内容在高考中所占比重不大，纵贯近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有一定的灵活性、机动性。

预测09年高考：

（1）对于理科生来讲，对随机事件的考察，结合选修中排列、组合的知识进行考察，多以选择题、填空题形式出现；

（2）对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主。

三．要点精讲

1．随机事件的概念

在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。

（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； （2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件； （3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。 2．随机事件的概率

m事件A的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数，

n在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P（A）。

由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。 3．事件间的关系

（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；

（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；

（3）包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B包含事件A）；

4．事件间的运算

（1）并事件（和事件）

若某事件的发生是事件A发生或事件B发生，则此事件称为事件A与事件B的并事件。 注：当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式： P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）；且有P（A+A）=P（A）+P（A）=1。 （2）交事件（积事件）

若某事件的发生是事件A发生和事件B同时发生，则此事件称为事件A与事件B的交事件。

5．古典概型

（1）古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；

（2）古典概型的概率计算公式：P（A）=

A包含的基本事件个数；

总的基本事件个数一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组

1成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是。如果某个事件A包

nm含的结果有m个,那么事件A的概率P（A）=。

n四．典例解析

题型1：随机事件的定义

例1．判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ （1）“抛一石块，下落”. （2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”； （3）“某人射击一次，中靶”； （4）“如果a＞b,那么a－b＞0”; （5）“掷一枚硬币，出现正面”； （6）“导体通电后，发热”； （7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”； （8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”； （9）“没有水份，种子能发芽”； （10）“在常温下，焊锡熔化”． 解析：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件。

点评：熟悉必然事件、不可能事件、随机事件的联系与区别。针对不同的问题加以区分。

例2．（1）如果某种彩票中奖的概率为

1，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用1000概率的意义解释。

解析：不一定能中奖，因为，买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖。

点评：买1000张彩票，相当于1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1000张彩票有可能没有一张中奖。

（2）在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性。

解析：这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。

点评：这个规则是公平的，因为每个运动员先发球的概率为0.5，即每个运动员取得先发球权的概率是0.5。事实上，只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的。

题型2：频率与概率

例3．某种菜籽在相同在相同的条件下发芽试验结果如下表：（求其发芽的概率） 种子粒数 发芽粒数 2 2 5 4 10 9 70 60 130 116 310 282 700 639 1500 1339 2000 1806 3000 2715 解析：我们根据表格只能计算不同情况下的种子发芽的频率分别是：1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905。随着种子粒数的增加，菜籽发芽的频率越接

近于0.9，且在它附近摆动。故此种子发芽的概率为0.9。

点评：我们可以用频率的趋向近似值表示随机事件发生的概率。

例4．进行这样的试验：从0、1、2、…、9这十个数字中随机取一个数字，重复进行这个试验10000次，将每次取得的数字依次记下来，我们就得到一个包括10000个数字的“随机数表”．在这个随机数表里，可以发现0、1、2、…、9这十个数字中各个数字出现的频率稳定在0.1附近．现在我们把一个随机数表等分为10段，每段包括1000个随机数，统计每1000个随机数中数字“7”出现的频率，得到如下的结果： 段序：n=1000 出现“7”的频数 出现“7”的频率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 95 88 95 112 95 99 82 89 111 102 0.095 0.088 0.095 0.112 0.095 0.099 0.082 0.089 0.111 0.102 由上表可见，每1000个随机数中“7”出现的频率也稳定在0.1的附近．这就是频率的稳定性．我们把随机事件A的频率P(A)作为随机事件A的概率P(A)的近似值。

点评：利用概率的统计定义，在计算每一个随机事件概率时都要通过大量重复的试验，列出一个表格，从表格中找到某事件出现频率的近似值作为所求概率。这从某种意义上说是很繁琐的。

题型3：随机事件间的关系

例5．（1）某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（ ） （A）至多有一次中靶 （B）两次都中靶 （C）两次都不中靶 （D）只有一次中靶

答案：C。

点评：根据实际问题分析好对立事件与互斥事件间的关系。

（2）把标号为1，2，3，4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个。事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”是（ ） （A）互斥但非对立事件 （B）对立事件

（C）相互独立事件 （D）以上都不对 答案：A。

点评：一定要区分开对立和互斥的定义，互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件。

例6．（2006天津文，18）甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9,乙机床产品的正品率是。

（I）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）； （II）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）。

（I）解：任取甲机床的3件产品恰有2件正品的概率为

22P3(2)?C3?0.9?0.1?0.243.

（II）解法一：记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A，“任取乙机床的1件产品是正品”为事件B。则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为：