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第一部分 第七章 课时27

1．如图，在△ABC中，点E，G分别为AB边的三等分点，点F，H分别为AC边的三等分点. 若△ABC的面积为9 cm，则四边形EGHF的面积为( A )

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A．3 cm C．5 cm

【解析】根据相似三角形的性质得，∴S四边形EGHF＝ 3 cm.

2．如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝10，AC＝8，AP是它的一条角平分线，AP的垂直平分线EF与AP相交于点E，与BC的延长线相交于F，则AF的长为__12__.

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B．4 cm D．6 cm

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S△AEF1S△AEF122, 2,

＝，＝. ∵△ABC的面积为9 cm，∴S△AEF＝1 cmS△AGH＝4 cmS△ABC9S△AGH4

【解析】∵EF是AP的垂直平分线，∴AF＝PF， ∴∠FAP＝∠FPA.

∵∠FAP＝∠FAC＋∠CAP，∠FPA＝∠B＋∠BAP.

AP平分∠BAC，

∴∠BAP＝∠CAP，∴∠FAC＝∠B. ∵∠AFC＝∠BFA，∴△AFC∽△BFA， ∴

CFAFAC22

＝＝＝，∴AF＝CF·BF， AFBFAB3

设CF＝2x，则AF＝3x，BF＝BC＋CF＝10＋2x， ∴(3x)＝2x·(10＋2x)，解得x＝4， ∴AF＝12.

3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点O为AD上一动点(0＜OA＜4)，以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N.

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(1)求证：＝；

(2)设DM＝x，求OA的长(用含x的代数式表示)；

(3)在点O的运动过程中，设△CMN的周长为C，试用含x的代数式表示C，你能发现怎样的结论？ (1)证明：∵MN切⊙O于点M， ∴∠OMN＝90°.

∵∠OMD＋∠CMN＝90°，∠CMN＋∠CNM＝90°， ∴∠OMD＝∠MNC. 又∵∠D＝∠C＝90°， ∴△ODM∽△MCN， ∴

MCCNODDMMCCN＝ . ODDM(2)解：在Rt△ODM中，DM＝x，设OA＝OM＝R，

∴OD＝AD－OA＝4－R，由勾股定理，得(4－R)＋x＝R，∴16－8R＋R＋x＝R， 16＋x∴OA＝R＝ (0＜x＜4)．

8(3)解：易得CM＝CD－DM＝4－x， 16＋x16－xOD＝4－R＝4－＝.

88∵△ODM∽△MCN， ∴

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MCCN＝， ODDM8x∴CN＝，

4＋x16＋x同理，可得MN＝，

4＋x8x16＋x32＋8x∴△CMN的周长为CM＋CN＋MN＝(4－x)＋ ＋＝＝8.

4＋x4＋x4＋x∴在点O的运动过程中，△CMN的周长C始终为8，是一个定值．

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