内容发布更新时间 : 2024/5/3 23:01:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
题型一 利用正、余弦定理解三角形 解三角形的一般方法：
(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.
例1 如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度．
解 在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝23，
a2＋b2－c231
由余弦定理，得cos C＝＝，∴sin C＝；
2ab22
ADAC
在△ADC中，由正弦定理得，＝，
sin Csin∠ADC
21
∴AD＝×＝2.
222
跟踪训练1 在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是________．
π0，? 答案 ??3?解析 在△ABC中，由正弦定理得 abc
sin A＝，sin B＝，sin C＝，
2R2R2R(其中R为△ABC外接圆的半径)
由sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C可得a2≤b2＋c2－bc，
222
b＋c－a1
即b2＋c2－a2≥bc，∴cos A＝≥，
2bc2
π
∴0 3 题型二 三角变换与解三角形的综合问题 该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系．由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化．在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等． πB25 例2 在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，cos ＝，425求△ABC的面积S. B3 解 因为cos B＝2cos2 －1＝， 254 故B为锐角，所以sin B＝. 5 3π?所以sin A＝sin(π－B－C)＝sin??4－B? 3π3π72＝sin cos B－cos sin B＝. 4410 asin C10 由正弦定理，得c＝＝， sin A7 111048 所以S△ABC＝acsin B＝×2××＝. 22757 35 跟踪训练2 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b 513＝3，则c＝________. 14答案 5 35412 解析 ∵A，B，C为三角形内角且cos A＝，cos B＝，∴sin A＝，sin B＝.sin C＝sin[π 513513 4531256 －(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝. 51351365 566514cbsin C 由正弦定理＝，得c＝b×＝3×＝. sin Csin Bsin B125 13题型三 正、余弦定理在实际中的应用 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步： (1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等； (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出； (3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案． 例3 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100 2 米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒．在A地测得该仪器弹至最 17高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒) 2 解 由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－×340＝x－40. 17在△ABC中，由余弦定理得： |BC|2＝|BA|2＋|AC|2－2|BA|·|AC|·cos∠BAC， 即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420. 在Rt△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°， 所以|CH|＝|AC|·tan∠CAH＝1403. 答 该仪器的垂直弹射高度CH为1403米． 跟踪训练3 甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏 西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？ 解 设甲、乙两船经t小时后相距最近，且分别到达P、Q两处，因乙船到达A处需2小时． ①当0≤t＜2时，在△APQ中，AP＝8t，AQ＝20－10t，