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2007年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题

说明:第一试每题50分,共150分;第二试每题15分,共150分.

7.方程3x3+2 2x2－(17－9 2)x－(6－5

2)=0的解为x1= ________,x2=______ ,x3=______ .

8.已知矩形ABCD的周长的平方与面积的比为k.则矩形ABCD的较长的一边与较短的一边的长度的比等于_____________.

9.已知正方形纸片ABCD的面积为2 007 cm2.现将该纸片沿一条线段折叠(如图1),使点D落在边BC第一试

1.已知a≠0,并且关于x的方程ax2－bx－a+3=0①至多有一个解,试问:关于x的方程(b－3)x2+(a－2b)x+3a+3=0②是否一定有解?并证明你的结论.

2.已知点D为等腰△ABC的底边BC的中点,P为AB线段内部的任意一点,设BP的垂直平分线与直线AD交于点E,PC与AD交于点F.求证:直线EP是△APF的外接圆的切线.

3.在1,2,…,2 007这2 007个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中的每一个都与2 007互质,并且所取出的数中的任意三个的和都不是7的倍数.

第二试

1.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,

ACBC?1?62,则ABAC=________________ . ?a?b?1,2.已知??a2008b2008?a2b21,则代数式2007?化简的最后结果是_________. ?c?2007?c?2007c(2007-c)20073.代数式113x2?3－110x的最小值为__________________.

4.如果一个直角三角形的两条直角边的乘积等于它的斜边的平方的14,那么,这个直角三角形中较大

的锐角的度数为________________.

5.已知在直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点分别为A(2

2 , 2+6 )、B(2,2)、C(5

2, 2).则△ABC的边BC上的高与∠ABC的平分线的交点的坐标为___________.

6.已知某工厂一月份生产某产品1万件,二月份生产1.2万件,三月份生产1.3万件,n月份生产abn+c万件,其中a、b、c都是常数,n=1,2,…,12,则该工厂四月份生产___________________万件.

上的点D′处,点A落在点A′处,A′D′与AB交于点E.则△BD′E的周长等于______cm.

10.若x为整数,3

1

参考答案

第一试

1.由题意知,方程①的判别式Δ1=b2+4a(a－3)≤0 b2

+(2a－3)2

≤9

∴ －3≤b≤3,－3≤2a－3≤3 ∴b－3≤0,0≤a≤3. 当b－3=0时,方程②化为－

92x+152=0,有解. 当b－3<0时,方程②的判别式Δ2=(a－2b)2－12(a+1)(b－3)>0, 此时也有解.

综上所述,方程②一定有解.

2.以E为圆心、EB为半径作圆,则点P、C都在该圆的圆周上.联结EC.则

∠PAE=90°－∠ABC=90°－12 ∠PEC=∠EPC.

因此,EP是△APF的外接圆的切线.

3.将1,2,…,2 007分别用7除,余数为1、2、3、4、5的各有286+1=287个;余数为6、0的各有286个.

在1,2,…,2 007中,与2 007不互质的数有3,2×3,3×3,…,669×3以及223,2×223,4×223,5×223,7×223,8×223.

将这些与2 007不互质的数分别用7除,余数依次为3,6,2,5,1,4,0,3,6,2,5,1,4,0,…,3,6,2,5以及6,5,3,2,0,6.

于是,在这些与2 007不互质的数中,余数为1、2、3、4、5、6、0的依次有95、97、97、95、97、98、96个.

在1,2,…,2 007且与2 007互质的数中,余数为1、2、3、4、5、6、0的依次有192、190、190、192、190、188、190个.

要使所取出的数中的任意三个的和都不是7的倍数,至多取2个余数为0的数.由于余数为(1,3,3)、(3,2,2)、(2,6,6)、(6,4,4)、(4,5,5)、(5,1,1)以及(1,2,4)、(3,6,5)的三数的和都是7的倍数,因此,至多取2组其余数在图2中不相邻的全部数.

经验证可知,取2组余数为1、4的全部数,再取2个余数为0的数,符合题目的要求,且取出的数的

个数达到最大值.故最多可以取出192+192+2=386个数,使得所取出的数中的每一个都与2 007互质,并且所取出的数中的任意三个的和都不是7的倍数.

第二试

1.2 2 － 3 .

2.

12 0072 007.

3.3223.

令y=113x2?3－110x,则y2+220xy=3×223x2+3×1132, 3×223x2－220yx+3×1132－y2=0.

故Δ=(220y)2－4×3×223(3×1132－y2)=4×1132(y2－32×223)≥0. 所以,y≥3

223.

当且仅当x=110/223时,y取最小值3

223

2

4.75°.

设较大的锐角为α.由题意易知sinα·cosα=14 sin 2α=12 α=75° 5.(2

2 , 2 +6/3).

设△ABC的边BC上的高与∠ABC的线交于点P(2 2,

2+h).

则tan∠ABC=6 /2 ,tan∠PBC=h/2 . 又∠ABC=2∠PBC,于是, 由半角公式得h=6 /3. 6.1·35. 由题设易知

ab+c=1,ab2

+c=1·2,ab3

+c=1.3·. 则ab(b－1)=0.2,ab2(b－1)=0.1. 故b=0.5,a=－0.8,c=1.4. 所以,ab4+c=1.35. 7.

2/3,

2－1,1－2 2.

令x=

2y,代入原方程得6 2y3

+4

2y2

－17

2y+18y－6+5 2=0.

易知y=1/3满足条件.故x1=2/3. 于是,3x3+2

2x2－(17－9 2)x－(6－52)=(x－2/3)(3x2+3

2x+9 2－15).

=3(x－2/3)(x－ 2+1)(x+2

2－1).

所以,x1=2/3,x2= 2－1,x3=1－2

2.

8.

k?88?18k(k?16). 设矩形的长、宽分别为a、b(a≥b). 则4(a+b)2/ab=k,即4a2+(8－k)ab+4b2=0. 令t=a/b,则4t2+(8－k)t+4=0.

解得t=

k?88?18k(k?16). 9.6223.

设正方形边长a=2 007,∠D′DC=α.则∠BD′E=2α,CD′=atanα,BD′=a(1－tanα).

所以,△BD′E的周长为a(1－tanα)(1+tan 2α+sec 2α)

=a?cos?-sin?cos 2??sin 2??1cos?·?cos 2? =a?cos?-sin?2cos2??2sin?cos?cos?·?cos2?-sin2? =2a=6

223.

10.20或119.

设x2+(x+1)2=v2,则(2x+1)2=2v2－1.令u=2x+1,则u2－2v2=－1.其为佩尔方程,其基本解为(u0,v0)=(1,1).其全部正整数解可由un+vn2=(u0+v02)2n+1 得到.其中,(u1,v1)=(7,5),(u2,v2)=(41,29),(u3,v3)=(239,169),u4>400. 故x=20或119.

3